S(x, R)= {y: d(x, y)< R}
Izoh. s> 0son uchun S(x,s)- x nuqtaning, «s -atrofi» ham deyiladi. S(x,R) = {y: d(x,y) < R} to‘plam esa yopiq shar deyiladi.
Ta’rif. Agar tim f (xx,x2,...,xn) = a tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda a son d(x,x0 )——0
(x(0), x(0)
(0)1
ga Z = f (xx, x2,...,xn) funksiyaning, x = (xx, x2,...,xn) nuqta x0 intilgandagi limiti deyiladi. Bu hol quyidagicha yoziladi lim f (x) = a
1- misol.
tim xl —0 x2 ——0
2 , 2 x1 + x2 + x2 +1 — 1
(x2 tim-— x1 —0 x2 — 0
+ ^ )(^/x + ^ +1 +1) x + ^ +1 — 1
tim xl —0 x2 — 0
)
2. x^x0V '
2 - misol. lim1n(1,—x—y ) limitlarni hisoblashda x va y nuqtalar orasidagi masofani
p = t]x2 + y2 deb belgilaylik. x^0, y^0 bo’lgandap^0 ekanligi kelib chiqadi. Demak, lim1^!-Ы2» = HmM-P2» = Цт(1п(1-P2»' = lim1 -РГp) = 0
x—0 y—0
2 , 2 x + y
p—0
P
p—0
P
p—0
1 x— yx2+y2 2. Xususiy hosilalar Ikki L va K erkli o’zgaruvchili Q = f (K,L) ishlab chiqarish funktsiyasining
o’zgarishida bir o’zgaruvchi o’ssa boshqasi o’zgarmas bo’ladi. Agar K o’zgarmasdan L o’ssa, u holda umumiy mahsulot ishlab chiqarish uchun mehnatga taqsimot ( TPl ) o’ zgarishini kuzatamiz (TPL xuddi Q ishlab chiqarish elementi kabi). Bu qoida, rasmdagi shakl ko’rinishida bo’ladi. Mikroekonomikada L(MPL) marjinal mahsulot, L ning bir birlik orttirmasi, K ning biror berilgan qiymati shartida aniqlanadi. Yana ham aniqroq ta’rif, bu MPL L bo’yicha TPlning o’zgarish tezligidir . Shunday qilib 10.1- rasmda M nuqtada MPL taklif funktsiya o’zining maksimumiga erishadi va TPlfunktsiya o’zining maksimumiga N nuqtada erishsa, u holda MPl taklif funktsiya nolga teng bo’ladi.
Xususiy hosilani hisoblash, bu funktsiya, bir o’zgaruvchi bo’yicha o’zgarganda, boshqa argumentlari o’zgarmasdan qolganda, funktsiyaning o’zgaruvchan argument bo’yicha tezligini topish usulidir. Shuning uchun, Q = f (K,L) ishlab chiqarish funktsiyasining L bo’yicha xususiy hosilasi
hisoblanganda, K ni o’zgarmas deb, umumiy mahsulotdagi L ning o’zgarish tezligini hosil qilamiz, boshqacha aytganda MPL. Xususiy hosilaning asosiy qoidasi, funktsiyadan bir o’zgaruvchi bo’yicha hosila olinsa, boshqalari o’zgarmas deb hisoblanadi. d belgi xususiy hosilalarda, ‘d’ belgisi esa bir o’zgaruvchili funktsiyalardan olingan hosilalarda qo’llaniladi. Masalan, Q ishlab chiqarish funktsiyasidan L bo’yicha olingan xususiy hosila quyidagicha 5Q/5L yoziladi.
Misol. Agar y = I4x + 3z2 bo’lsa, bu funktsiyadan x va z bo’yicha hususiy hosilalarni toping.
Dy Yechish. y dan х bo’yicha olingan xususiy hosila = 14
Dx (3z2 o’zgarmas deb olinadi va faqat x bo’yicha differentsiallanadi). Shu kabi, y dan z bo’yicha olingan xususiy hosila
^ = 6z
Sz (14x o’zgarmas hisoblanib yo’qoladi. 3z2 ifoda faqat z bo’yicha differentsiallanadi). Misol. Ishlab chiqarish funktsiyasi uchun Q = 20K0 L 5 Funktsiyani keltirib chiqaring;
MPL ning kamayishini ko’rsating.
Yechish. 1) Ishlab chiqarish Q = 20K0 5L0 ■ 5 funktsiyasidan, L bo’yicha хususiy hosila olib MPL ni topamiz. Demak
10K0 5 ~l°r mp =-Q = 10K0 5 l-0 ■ 5 L6L MPL funktsiyaga e’tibor bersak, bu funktsiya 10.1 rasmdagi funktsiyadan farq qilib, uzluksiz pastga qarab ketadi.
2) Agar MPL funktsiyani maxraji va suratini 2La 5ga ko’paytirsak, quyidagini hosil qilamiz
f 2 L5 ^
f 10K0 ■ 5 л
20K0,5 L0 5Q
2 L5 v2L J
l0.5 v L J
2L 2L
mpl
(1) K va L larning kombinatsiyasi bitta chiqish signalini beradi. Demak, agar Q o’zgarmas qolib, L o’ssa, u holda (1) funktsiya kamayadi.
Endi biz Kobba-Duglas funktsiyasini Q = AKaLp formatda, ixtiyoriy 0 p < 1 larda, limitik ishlab chiqarish kamaюvchi ekanligini ko’ramiz. Agar K fiksirlangan bo’lib, L o’zgaruvchi miqdor bo’lsa, limitik mahsulot L xususiy hosila yordamida topiladi. Demak
Q = AKaLp
PAKa p-p MP = ^ = pAKaLp-1 L SL
Agar K o’zgarmas deb olinsa, shuningdek a, p, A berilgan bo’lsa, pAKa surat ham o’zgarmas bo’lib qoladi. Maxrajdagi L o’ssa, L~p ham kattalashadi va funktsiya MPlkamayadi, ya’ni, limitik mahsulot L kamayadi.
Shuningdek, L o’zgarmas deb olinib K o’suvchi bo’lsa,
p MPK = = aAKa-1Lp = KSK Kl-a kamayadi.
Ishlab chiqarish funktsiyasida o’zgaruvchilar soni ikkitadan ko’p bo’lsa ham shu printsip takrorlanadi.
Masalan, agar Q = AX^X^Xd
-SQ = cAXfXbX^Xd dX3 12 3 4
cAX^XbXj
X.
c-1 bu yerda X, X2, X3 va X4 ko’rsatkichlar, u holda X 3 ko’rsatkichning marjinal ishlab chiqarish darajasi
bo’lib, X3 kamaygan sari o’sadi. Bunda X, X, X va X kiruvchi o’zgaruvchilar bo’lsa, u holda X o’ zgaruvchi bo’yicha marjinal mahsulot quyidagicha bo’lib
dQ= eAXaXb7Xc-lXd. dX,1234
cAX^XbXdd
X
c-1 bo’lib X3 kamaygan sari, u o’sadi.
Kobba-Duglas ishlab chiqarish funktsiyasining marjinal mahsuloti uzluksiz nolgacha kamayib, Lning chеkli qiymatlarida “eng kichik limitik” qiymatga ega bo’lmaydi; ya’ni, ular hеch qachon minimal nuqtaga erishmaydi. Аgar, masalan,
Q = 25K04 L5
Minimumning birinchi tartibli sharti
12.5K04 L0 . 5
= 0 MR = dQ = 12.5K 04L~05 LdL Q=0, faqat K=0 bo’lsagina o’rinlidir yoki L chеksiz katta bo’lsa, o’rinli. SHuningdеk, L ning chekli qiymatlari uchun L qancha katta bo’lmasin MPL musbatligicha qolavеradi, bu shuni bildiradiki izokvanta chizig’i bo’yicha ikki o’zgaruvchili Kobba-Duglas ishlab chiqarish funktsiyalari hеch qachon orqaga qayrilmaydi, ya’ni u noiqtisodiy sohadir.
Ishlab chiqarish funktsiyasining boshqa mumkin bo’lgan ko’rinishlari. Masalan, agar
Q = 4.6K2 + 3.5L2 - 0.012K3L3 Bo’lsa, avval MR o’sib, keyin kamayadi
MR = dQ = 7L - 0.036K3L2 LdL Lning o’sishi bilan, MRfunktsiyaning bukilishi, musbatdan manfiy qiymatga qarab o’zgaradi
dMP bukilish = d—L= 7L - 0.072K 3L dL MPlfunktsiyaning qiymati va ko’rinishi K ga bog’liq bo’lib qoladi
Misol. Agar q = 20x06y0 2x0 3 bo’lsa, q ning x, y, z bo’yicha o’zgarish tezligini (hosilasini) toping.
Yechish. Bunda hozir uchta bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchi qatnashyapti, lekin bunda ham юqoridagi qoidalarga amal qilinadi, ya’ni, ikkita o’zgaruvchi o’zgarmas deb qaraladi. Shuning uchun y va z o’zgarmas bo’lsin
dq = 12 x0 4 y0 ■ 2 x 0 3 dx Shu kabi, x va z o’zgarmas bo’lsin
dq = 4 x0.6 y-°. 8 z0 ■ 3 dy va x vay o’zgarmas bo’lsin
dq = 6 x 0 6 y 0 2 z-a 7 dz Ko’p o’zgaruvchili funktsiyalardan xususiy hosila olayotganda xato qilmaslik uchun, o’zgarmaydigan o’zgaruvchilarni birinchi bo’lib yozib olib, so’ng
differentsiallash кегак. Masalan x bo’yicha differentsiallashda y02z03 ni yozib olib, y va z o’zgarmas deb olindi.
Agar funktsiya juda ko’p o’zgaruvchilardan tashkil topsa, xususiy hosilani belgilash
df quyidagi kabibo’ladi. Masalan, / = /(у,л'2,...,у,) funktsiyauchun — ningo’miga
дхг f ni, — ning o’rniga — ni va hokazolami yozish mumkin.
dx2 Misol. fj ni toping bunda jishlab chiqarish funktsiyasining kirish nomerlari
n = £6Xi'5 i=1
Yechish. Bu funktsiya qo’shiluvchilar yig’indisidan iborat. Faqat bitta j chi had uchun xj mavjud. Agar xj bo’yicha differentsiallasak, qolgan hadlar o’zgarmas bo’ladi va yo’qoladi. Shuning uchun, 6x0/ hadni xj bo’yicha differentsiallash
quyidagicha bo’ladi — = 3xy0 5
fii =
C— dx 2 Bu qisqa belgi ikkinchi tartibli xususiy hosilalarda ham qo’llaniladi. Masalan,
Ikkincha tartibli xususiy hosila funktsiyaning birincha tartibli xususiy hosilasini differentsiallash yo’li bilan topiladi. Agar funktsiya ikkita bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchidan iborat bo’lsa, to’rtta ikkincha tartibli xususiy hosila hosil bo’ladi. Misol tariqasida,
Q = 25K04 L03 Ikkita birincha tartibli xususiy hosila mavjud
CQ = 10K0 6L0 3 CQ = 7.5K0 4L07 CK CL Ular K va L ga bog’liq bo’lgan limitik mahsulot funktsiyasidan iborat. Bu funktsiyalarni ikki marta differentsiallab quyidagini hosil qilamiz
= 6K-i. 6jo.3= _5.25K0 4l-° 7
Bu ikkincha tartibli xususiy hosila, limitik mahsulot funktsiyasining o’zgarish tezligini ifodalaydi. Bu misoldan ko’rinadiki, MRL (ya’ni C2Q / CL2) ning og’ishi doimo manfiy bo’ladi (K va L musbat qiymatlar qabul qilsa), L ning o’sishi bilan, boshqa bir teng shartlarda, bu og’ishning absotot qiymati kamayadi. Undan tashqari biz CQ /CKo’zgarish tezligini L bo’yicha o’zgaruvchilar, hamda CQ / CLo’zgarish tezligini K bo’yicha o’zgaruvchilar tezligi yordamida aniqlashimiz mumkin. SHunda ular: C Q _ ^jr-0.6j0.7 C Q
0.6 г-0.7
CK CL
CLCK
= 3K-_b L dK2 dL2 kabi ifodalanadi va kesishuvchi xususiy hosilalar deyiladi.
Bular shuni ko’rsatadiki, Qning biror kirim bo’yicha o’zgarish tezligi, boshqa kirim bo’yicha ham o’zgarar ekan. Bu misoldan quyidagini hosil qilamiz
5 2Q 5 2Q 5K5L 5L5K Aslida kesishuvchi xususiy hosilalar har doim mos ravishda bir biriga teng bo’ladi.