17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

1-Ta’rif. Agar eng katta 
yoy uzunligi nolga intilganda: ( u holda
bo‘ladi), (1) integral yig‘indilar chekli limitga intilsa va bu limit 
egri chiziqni
bo‘lishlariga va
( 
) nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, uni biz 
( ) funksiyaning egri chiziq uzunligi bo‘ylab integrali yoki tur egri 
1-rasm 

---

chiziqli integral deb ataymiz va uni 
( ) (yoki
( ) ) orqali 
belgilaymiz. 
Shunday qilib, ta’rifga ko‘ra 
( )
( 
)
(2) 
Bu holda 
( ) funksiya egri chiziq bo‘ylab integrallanuvchi, egri 
chiziq integrallash konturi, 
integrallashning boshlang‘ich, esa oxirgi 
nuqtasi deb ataladi. 
(1) integral yig‘indi 
egri chiziqdagi yo‘nalishga bog‘liq bo‘lmaganligi 
tufayli I tur egri chiziqli integral ham egri chiziqdagi yo‘nalishga bog‘liq 
bo‘lmaydi. 
egri chiziq yopiq bo‘lmasin, egri chiziq ham xuddi shu egri 
chiziq deb tushuniladi, faqat yo‘nalish 
nuqtadan nuqtaga qarab yo‘nalgan deb 
hisoblanadi. U holda
( )
( ) (3) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Fazoviy egri chiziq bo‘ylab integral ham xuddi shu singari kiritiladi. 
fazoviy egri chiziq yotgan 
sohada ( ) funksiya aniqlangan bo‘lsin.
egri chiziqni 
nuqtalar yordamida
elementar 
yoylarga ajratuvchi 
* 
+ bo‘linishni bajaramiz. Har bir
, 
( ) yoyda
( 
) nuqtani tanlab,
( 
)
integral yig‘indini tuzamiz va 
( ) bo‘lganda limitga o‘tamiz, natijada 
fazoviy 
egri chiziq bo‘ylab integral qiymatini hosil qilamiz: 
( )
( 
)
(4) 
bu yerda ham 
yoy uzunligini 
orqali va bu uzunliklarning eng kattasini 
( ) orqali belgilangan. 
1-Misol. Biror 
silliq chiziq bo‘ylab ( ) o‘zgaruvchan chiziqli zichlikka ega 
bo‘lgan massa taqsimlangan bo‘lsin. 
chiziqning massasini topilsin. 
►
chiziqni ta
( ) qismlarga ajratamiz va har bir qismda 
zichlik o‘zgarmas va biror nuqtadagi, masalan 
nuqtadagi 
( 
) zichlikka teng 
deb faraz qilib, har bir qismning massasini hisoblaymiz. U holda
( 
)
yig‘indi 
massaning qiymatiga taqriban teng bo‘ladi, bu yerda
ko‘paytuvchi 
qismning uzunligi. egri chiziqni bo‘lishlar qanchalik mayda bo‘lsa, xatolik 
ham shunchalik kichik bo‘lishi ravshan. 
(
) bo‘lganda limitga 
o‘tsak, 
chiziqning aniq massasini hosil qilamiz, ya’ni 
( 
)
Biroq o‘ng tomondagi limit I tur egri chiziqli integraldan iborat. Demak 

---

( ) .◄