17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

I tur egri chiziqli integralning mavjudligi. 
egri chiziqda parametr sifatida
nuqtadan hisoblanadigan 
yoy uzunligini olamiz (2-rasm), ya’ni egri chiziqdagi
nuqtaning holati 
nuqtadan nuqtagacha bo‘lgan
̆ yoy uzunligi bilan 
aniqlanadi. U holda 
egri chiziq 
( ) ( ) (
) 
parametrik tenglama bilan ifodalanadi, egri chiziq nuqtalarida aniqlangan 
( ) 
funksiya esa 
argumentning murakkab ( ( ) ( )) funksiyasiga o‘tadi. 
( ) orqali parametrning egri 
chiziqdagi 
bo‘linish nuqtasiga mos keluvchi 
qiymatini belgilaymiz. U holda 
ekanligi ravshan.
̅
orqali esa
parametrning 
nuqtani aniqlovchi qiymatini belgilaymiz. Bu
belgilash uchun 
̅
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Kiritilgan belgilashlardan foydalanib, (1) 
integral yig‘indi 
( ( ̅
) ( ̅
))
(5) 
o‘rinishda yozib olamiz. 
Bu yig‘indi bir vaqtning o‘zida 
( ( ) ( )) funksiya aniq integralining 
integral yig‘indisidan iborat va 
( ( ) ( ))
( ( ̅
) ( ̅
))
(6) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu yerda har doimgidek 
. (2) va (6) tengliklar 
o‘ng tomonlaridagi limitlar ostidagi yig‘indilar teng, shuning uchun bu limitlar 
ham va demak chap tomonlari ham teng bo‘ladi. Shunday qilib, 
( )
( ( ) ( )) (7) 
va ulardan birining mavjudaligi ikkinchisining ham mavjudligini keltirib chiqaradi. 
Shuning uchun o‘ng tomondagi aniq integralning mavjudlik sharti chap tomondagi 
I tur egri chiziqli integral uchun ham mavjudlik shartini beradi. 
1-Teorema. Agar 
egri chiziq bo‘lakli silliq va ( ) funksiya egri 
chiziqda uzluksiz bo‘lsa, 
( )
I tur egri chiziqli integral mavjud. 
I tur egri chiziqli integralni hisoblash. Biz yuqorida I tur egri chiziqli integralni 
hisoblashni (7) formula yordamida aniq integralni hisoblashga keltirildi. Biroq bu 
formula amaliy jihatdan unchalik qulay emas, chunki kamdan-kam hollardagina 
egri chiziqning paramateri sifatida yoy uzunligi olinadi. 
Bo‘lakli silliq 
egri chiziq 
{
( ) 
( ) 
(8) 
2-rasm 

---

paramaetrik tenglama bilan berilgan bo‘lsin. U holda 
yoy uzunligini egri 
chiziqning ixtiyoriy uchidan boshlab aniqlash mumkin, biz bu holda parametrning 
qiymatiga mos keluvchi uchini boshlang‘ich nuqta sifatida qabul qilamiz. U 
holda 
parametrning o‘sib borishiga parametrning o‘sishi mos keladi va egri 
chiziq uzunligining differensiali uchun
√( 
( ))
( 
( ))
formula o‘rinli bo‘ladi. Bunda 
qiymat nuqtaga va qiymatga,
qiymat esa 
nuqtaga va
qiymatga mos keladi. (7) tenglikdagi aniq 
integralda 
yoy uzunligi parametridan parametrga o‘tib, o‘zgaruvchilarni 
almashtirish mumkin. U holda bu tenglik 
( )
( ( ) ( ))√( 
( ))
( 
( ))
(9) 
ko‘rinishni oladi. 
Agar yassi chiziq 
( ) , - funksiyaning grafigidan iborat bo‘lsa, 
(9) formula 
( )
( ( ))√ ( 
( ))
(10) 
ko‘rinishda bo‘ladi. Agar egri chiziq 
( ) , - funksiya bilan berilgan 
bo‘lsa 
( )
( ( ) )√ ( 
( ))
(11) 
formulaga ega bo‘lamiz. 
egri chiziq qutb koordinatalar sistemasida ( ) , 
- 
tenglama bilan berilgan bo‘lsin. U holda dekart va qutb koordinatalarini bog‘lovchi 
va formulalarni, hamda qutb koordinatalaridagi yoy 
uzunligi differensialining 
√ 
( ) ( 
( ))
ifodasini inobatga olsak 
( )
( )√ 
( ) ( 
( ))
(12) 
formulani hosil qilamiz. 
Fazoviy silliq 
egri chiziq 
{
( ) 
( ) 
( )
parametrik tenglama bilan berilgan bo‘lsa, bu egri chiziqda aniqlangan va uzluksiz 
( ) funksiyaning (4) I tur egri chiziqli integrali 
( )
( ( ) ( ) ( ))√( 
( ))
( 
( ))
( 
( ))
(13) 
formulaga ko‘ra hisoblanadi. 

---