2-§ Dara tuwındılı differencial teńlemelerdi sheshiwdiń shekli ayırmalar usılı

(4-sızılmaǵa qarań). Ekinshi jaqtan, (15)-de dep ( niń qálegen mánisinde) ekenin tabamız. Bunnan bolǵanda qálegen ushın sanlı sheshim dál sheshimge adım tan ǵárezsiz jıynaqlı bolıwı múmkin ems.
Solay etip, sxemanıń approsimaciyaǵa iye bolıwı, onıń jıynaqlı bolıwına alıp kelmeydi.
3-Anıqlama. Ayırmalı sxemalar ornıqlı dep ataladı, egerde ayırmalı teńelemeler sistemasınıń sheshimi dáslepki berilgen shamalardan (teńlemeniń oń jaǵı, baslanǵısh hám shegaralıq shártler) úzliksiz ǵárezli bolsa hám bul ǵárezlilik tordıń adımına salıstırmalı teń ólshemli bolsa.

2-§. Dara tuwındılı differenciallıq teńlemelerdi sheshiwdiń shekli ayırmalar usılı.

Ayırmalı sxemalar dúziwdi birneshe mısallardan keltireyik. Tómendegi anıqlamalardı kiriteyik.
4-Anıqlama. Sxema eki qatlamlı dep ataladı, egerde ayırmalı teńlemeler izlenip atırǵan funkciyanıń mánislerin waqıt boyınsha qońsı hám qatlamlarınıń eki túyinin de baylanıstırsa.
5-Anıqlama. Sxema úsh qatlamlı dep ataladı, egerde ayırmalı teńlemeler izlenip atırǵan funkciyanıń mánislerin waqıt boyınsha qońsı , hám qatlamlarınıń úsh túyinin de baylanıstırsa.
Joqarıdaǵı (5)-(6)-sxema eki qatlamlı sxemaǵa jatadı.
Egerde ayırmalı teńleme qálegen de funkciyanıń tek ǵana joqarǵı qatlamnıń bir túyinindegi mánisin óz ishine alatuǵın bolsa, onda bunday sxemalardı anıq sxemalar dep ataydı. Keri jaǵdayda sxema anıq emes sxema dep ataladı.
Anıq sxemalardı qollaǵanda diń joqarǵı qatlamdaǵı mánisin qálegen ushın usı qatlamnıń basqa túyinlerinen ǵárezsiz anıqlawǵa boladı. (5)-(6)-sxemaǵa qarayıq. (5)-ni tómendegishe jazamız:
(16)
(6)-dan diń mánisi belgili bolǵanlıqtan sońǵı (16)-ańlatpa tikkeley -ni anıqlawǵa múmkinshilik beredi, barlıq ushın. Bunnan soń usılayınsha h.t.b. esaplanadı.
Al endi anıq emes joqarǵı qatlamdaǵı diń mánislerine salıstırmalı sızıqlı algebralıq teńlemeler sistemasına alıp keledi.
Endi (13),(14)-máselege úsh qatlamlı sxema dúzeyik:
(17)

Bul sxemanıń shablonı 5-sızılmada keltirilgen.

5-sızılma
(17)-teńleme (13)-teńlemeni ekinshi tártipli dállik penen approksimaciyalaydı. Bul sxemada izlenip atırǵan torlıq funkciyanı esaplaw ushın baslanǵısh shárti jetkiliksiz. Esaplawlardı (17) sxema arqalı júrgiziw ushın jáne bir funkciyasn anıqlawımız kerek. Ol ushın tı Teylor qatarına jayamız.

Bunnan (13)-teńlemeni hám onnan differenciallaw arqalı kelip shıǵatuǵn

ańlatpasın esapqa alsaq tómendegige iye bolamız:
(18)
Solay etip, (17),(18)-sxema ekinshi tártipli approksimaciyaǵa iye sxema boldı.
Usınday sxemalardıń biri (13)-teńleme ushın Laks sxeması bolıp tabıladı:
(19)
Bul sxemanıń shablonı 6-sızılmada kórsetilgen.

6-sızılma
(19)-Laks sxemanıń approksimaciya qáteliginiń bas aǵzası

ańlatpasına teń bolǵanlıqtan, ol hám boyınsha da birinshi tártipli approksimaciyaǵa iye boladı. Bunda .
Endi Laks sxeması tiykarında ekinshi tártipli approksimaciyaǵa iye sxema dúziwge boladı. Oó ushın 7-sızılmadaǵı shablondısaylap alamız.

7-sızılma
(7)-sızılmada kórsetilgenindey, onıń shablonı tiykarǵı túyinlerinen basqa eki qosımsha túyinlerdi óz ishine aladı. Al diń mánisi eki etapta anıqlanadı.Birinshi etapta izlenip atırǵan funkciyanıń (sheshimniń) mánisi Laks sxeması boyınsha yarımpúyin túyinlerde anıqlanadı:
(20)
Ekinshi etapta (20)-dan tabılǵan sheshim mánisleri túyinlerdi keyingi di tómendegi “Krest”sxeması járdeminde ańlatıladı:
(21)
Bul (21)-sxema Laks-Vendrof sxeması dep ataladı.
Bul Laks-Vendrof sxeması ekinshi tártipli approksimaciyaǵa iye, sebebi onı dúziwde yarımpútin túyinlerdiń simmetriyalı jaylastırılıwı járdeminde, yaǵnıy “Krest” shablonında (7-sızılma) (20)-sxemanıń qáteliginiń bas aǵzaları biri-birin joǵaltadı. Bunı teylor qatarına jayıw arqalı anıqlaw qıyın emes.
Buǵan qısqasha (21)-degi yarımpútin túyinlerdegi funkciyanıń mánislerin joǵaltıwǵa da boladı:
(22)
Adette, joqarıdaǵı (20),(21)-tiptegi sxemalardı prediktor-korrektor sxemaları dep ataydı. Birinshi etapta aldın-ala sheshimniń mánisi taıladı (bul prediktor), al ekinshi etapta sheshimniń ózi anıqlanadı (bul korrektor). Bunday prediktor-korrektor sxemadaǵı ápiwayı differenciallı teńlemeler ushın Runge-Kutta tipindegi usıllarǵa jatadı. Atap aytqanda qayta esaplanıwshı Eyler usılı yamasa xorda usılları h.t.b.
Endi (13)-teńleme ushın eki-qatlamlı anıq emes sxemasın dúzeyik. Onıń shablonı 8-sızılmada keltirilgen.

8-sızılma
Ol túyinlerdi ayırmalar arqalı approksimaciyalawdı shablon orayına sızıqlı interpolyaciyalaw arqalı alınadı:
(23)
Bul sxema da ekinshi tártipli approksimaciyaǵa iye. Bul (23)-teńlemeniń sheshimin qıyınshılıq tuwdırmaydı. Meyli (13)-teńlemege oblastında
(24)
shártleri qoyılǵan bolsın. Onda (13)-teńlemeni (23)-ayırmalı teńleme menen approksimaciyalaymız, al (24)-qosımsha shártlerdi tómendegishe approksimaciyalaymız:
(25)
(23)-arqalı tómendegishe qayta jazamız:
(26)
Joqarıda hám diń mánisleri (25)-de berilgenlikten qalǵan lerdiń mánisin esaplaw izbe-iz ámelge asırıladı. Bul jerde bolǵanda boladı. Sonlıqtan, (25)-formula arqalı esaplawlar júrgizgende qátelik jıynalıp barmaydı, yaǵnıy bunday esaplawlar ornıqlı boladı. Ádette bul esaplawlar eki tochkalı aydaw (progoniya) usılı dep ataladı.

3-§. Ornıqlıqtı izertlewdiń bazıbir usılları.

Joqarıda biz sxemalardıń ornıqlılıǵınnıń anıqlamasın berdik. Ornıqlılıq ayırmalar sxeması teoriyasınıń eń tiykarǵı túsinikleriniń biri bolıp tabıladı. Bizge málim, matematikalıq fizikanıń durıs (korrekt) qoyılǵan mánislerine sáykes dúzilgen ayırmalı sxemalar ornıqsız da bolıp keliwi múmkin. Sonlıqtan, ornıqlı sxemalar klasın izertlew oǵada áhimiyetli problemalardıń biri bolıp tabıladı.
3.1. Spektral usıl. Joqarıdaǵı tasıw teńlemesine dúzilgen sxemalar tómendegishe operatorlı ańlatpa túrinde jazılıw múmkin:
(1)
Bunda konkret ayırmalı sxema dúzilgen shablon arqalı anıqlanadı. Al operatorı waqıt boyınsha bir qatlamnan ekinshi qatlamǵa ótiw operatorı dep ataladı. Sızıqlı sxemalar ushın operatorlı sızıqlı boladı. Setkalı funkciya dáslepki funkciyanıń approksimaciyası.
Bul (1)-ańlatpa túrinde berilgen sxema baslanǵısh shártler boyıńnsha ornıqlı dep ataladı, egerde
(2)
bolsa.
Haqıyqatında da, bul (2)-shárt orınlasnsa, onda
(3)
boladı.
Solay etip, (2)-shárt sxemanıń baslanǵısh shártler boyınsha ornıqlıǵın beredi:
(4)
Egerde bul (2)-shárt ornına bazıbir
( ǵa ǵárezsiz turaqlı. )
Shárti orınlansa, onda ornıqlılıq bahası (4) ózgeredi:

Bunda sheshim izlenip atırǵan aralıq waqıt. Endi (1)-teńlemeniń sheshimin
(5)
túrinde izleyik: Onda (5)-ni (1)-teńlemege aparıp qoysaq, onda operatorınıń sızıqlı operator ekenin esapqa ala otırıp tómendegige iye bolamız:

Bunnan

hám

Sonlıqtan, (1)-sxemanıń ornıqlılıǵınıń zárúrli shárti tómendegi teńsilik penen beriledi:

yamasa

Bunda - ayırmalı shegaralıq máseleniń setkalıq menshikli funkciyaları bolıp tabıladı. Olar teńelemeniń hám máseleniń shegaralıq shártlerin qanaatlandıradı. Demek da mánisi sáykes onıń menshikli mánisi boladı. Bul jaǵdayda ornıqlılıq shárti
(6)
boladı. Bunda maksimum barlıq menshikli mánisler boyınsha alınadı.
Menshikli mánisler operatorınıń spektorın dúzedi, sonlıqtan (6)-teńsizlik ornıqlıqtıń spektral kriteriyası dep te ataladı. Solay etip, bul kriteriya ornıqlılıqtıń zárúrli shártin beredi. Al ornıqlılıqtıń jetkilikli shártin menshikli setkalı funkciyalar sistemasınıń mmm beredi, biraq bul barlıq waqıtta bola bermeydi. Bul spektral kriteriyası kóbinese praktikalıq menshikli shárt retinde paydalanıladı.
Joqarıdaǵılardan kelip shıǵıp, garmonik usılı spektral usılınıń dara jaǵdayı dep te qarawǵa boladı.
3.2.Maksimum princpi. Joqarıdaǵı (5)-túrindegi sxemanı qarayıq:
(7)
Bunda

Meyli
(8)
shárti orınlı bolsın. Onda (7)-teńlemeni tómendegishe jazamız:

Joqarıdaǵı (8)-shárt boyınsha sońǵı teńliktiń oń jaǵındaǵı ańlatpalar oń boladı. Sonlıqtan bul sońǵı teńlikten tómendegi bahanı alıwǵa boladı:

Bul teńsizliktiń eki jaǵında sáykes waqıt qatlamında boyınsha maksimum alsaq, onda
(9)
boladı. Bunda

úzliksiz funkciyalar keńisligindegi normanıń setkalıq analogı bolıp tabıladı. Bul sońǵı (9)-teńsizlik (7)-sxemanıń baslanǵısh shártler boyınsha teń ólshemli ornıqlıǵın ańlatadı, yaǵnıy
(10)
Bul (10)-teńsizlik ayırnalı sxemanıń maksimum princpi dep ataladı. Ayırmalı sheshimniń moduliniń maksimal mánisi oblasttıń shegarasında qabıllanadı. Biz qarap atırǵan Koshi máselesi ushın bul tuwrısında baslanǵısh mánisinde orın aladı.
Solay etip, maksimum princpiniń orınlanıwı ayırmalı sxemalardıń ornıqlıǵınıń jetkilikli shárti bolıp tabıladı.
Sonı da aytıp ótiwimiz kerek, maksimum princpi ayırmalı sxemalardıń ornıqlıǵınıń jetkilikli shártin beretuǵın bolsa, al garmonik usılı bolsa ornıqlıqtıń zárúrli shártin beredi.
Tórtinshi paragrafta sxemalardıń ornıqlıǵınıń garmonik usılı izertlenedi hám onda (8)-shárt (5)-(6)-sxemanıń ornıqlıǵınıń zárúrli hám jetkilikli shárti ekenligi dálillenedi. Bul shárt ayırmalı sxemanıń adımlarına shegara qoyadı hám ol ádette Kurant kriteriyası dep ataladı. Bunday shárt barlıq giperbolalıq tiptegi teńelemelerdi ayırmalı sxemalar arqalı sheshiwimizde gezlesedi.
3.3. Sxemalardıń ornıqlıǵın izertlewdiń energetikalıq usılı.
Meyli hám setkalıq funkciyalar bolsın. Onda olardıń skalyar kóbeymesin
(11)
túrinde anıqlaymız. Meyli bul funkciyalar
(12)
shártin qanaatlandırsın. Bunda - túyinlerdiń eń úlken nomeri.
Joqarıdaǵı (11)-skalyar kóbeyme

normasın payda etedi. Endi torında berilgen setkalıq funkciyalardıń keńisliginde tómendegi differenciallawdıń ayırmalı operatorın anıqlaymız:
(13)

Bul operatordıń setkalıq funkciyalarǵa qollanıwı jáne setkalıq funkciyalardı beremiz.
Endi

skalyar kóbeymesin esaplaw arqalı ekenin kóriwge boladı.
Endi
(14)
sxemasın qarayıq. Meyli (8)-Kurant shárti orınlansın, yaǵnıy
(15)
Usı (15)-shárt orınlanǵanda (14)-sxemanı bolǵanda ornıqlı sxema bolatuǵınlıǵın energetikalıq usıl tiykarında dálilleyik. Ol ushın (11)-ni

túrinde jazıp onı ge skalyar kóbeytemiz hám alınǵan ańlatpanı tor boyınsha qosındılaymız. Sonda

ańlatpasın alamız. Endi

birdeyligin esapqa ala otırıp tómendegige iye bolamız.

bunnan (15)-shárttiń orınlanıwın esapqa alsaq, onda

teńsizligine iye bolamız. Bul sońǵı teńsizlik joqarıda aytqanımızday ornıqlıqtıń jetkilikli shártin beredi.Solay etip, energetikalıq usılda mmm sxemalardıń ornıqlıǵınıń mmm jetkilikli shártin beredi eken.
Kóp jaǵdaylarda energetikalıq usıl bunnanda kóbirek informaciyalardı beredi.

4-§. Ayırmalar sxamsınıń ornıqlıǵın garmonik usılı arqalı izertlew.

4.1.Garmonik usılı. Bul jerde tasıw teńlemesi mısalında qarap ótemiz:
(1)


(2)
Bul (1)-(2)-máselege tómendegi sxemalar dúzildi:
(3)

Hám
(4)

Bul jerde dál sheshim dıń approksimaciyası, al bazıbir turaqlı san. (1)-(2)-Koshi máselesiniń sheshimi jetkilikli dárejede tegis funkciya dep esaplanadı. Onda (1)-(2)-differenciallıq máseleniń sheshimin tómendegi Fure integralı túrinde kórsetiwge boladı:
(5)
Bundaǵı funkciyası
(6)
teńlemesin qanaatlandıradı. Bul (6)-differenciallıq teńleme (5)-ni dáslepki (1)-teńlemege aparıp qoyıwdan alınadı. Endi bul ápiwayı differenciallıq teńleme bolǵan (6)-teńlemeni sheshe otırıp tómendegige iye bolamız:

bunda baslanǵısh shártten anıqlanadı. Solay etip, sheshim tómendegishe jazıladı:

Bul jaǵdayda, (1)-sızıqlı máseleniń sheshimi monoxromatikalıq tarqalıwshı tolqınlardıń superpoziciyası túrinde yamasa garmonika túrinde jazıladı:
(7)
sonlıqtan, sızıqlı teńlemeler jaǵdayında sheshimniń qásiyetleri ulıwma (7)-garmonikanıń háreketine qarap anıqlanadı.
Ayırmalı sxemalardıń ornıqlıǵın izertlewdiń garmonik usılı usı joqarıdaǵı keltirilgenlerdi diskret jaǵdayda kóriw menen tikkeley baylanıslı. Sxemalardıń ornıqlıǵı haqqında ayırmalı garmoniklar túrine iye bolǵan dara setkalıq sheshimlerdiń háreketine qaray aytıladı:
(8)
Ápiwayılıq ushın dep qabıllaw múmkin.
Bul jerde hám lar keńislik hám waqıt boyınsha tordıń túyinleriniń nomeri, - erkli haqıyqıy san. Setkalıq funkciya keńislik boyınsha periodlı funkciya. shaması hám shaması da kompleks sanlar. Bular (8)-garmonik ayırmalı sxemanı qanaatlandıratuǵınday etip saylap alınadı.
Joqarıdan belgili

Al qálegen oń shamanı qabıl etiwi múmkin. Egerde bazıbir ushın

teńsizligi orınlansa, onda sáykes garmoniklar waqıttıń ótiwi menen sheksiz ósiwi múmkin. Bul óz gezeginde teńsizliginiń buzılıwına alıp keledi hám ol sxemanıń ornıqsız ekenin kórsetedi.
Egerde diń qálegen mánisinde

bolsa, onda 8-túrindegi barlıq garmonikalar shegaralanǵan boladı, biraq bunnan ulıwma sheshimniń shegaralanǵanı kelip shıqpaydı. Sonlıqtan ornıqsızlıqtıń jetkilikli shárti bolsa, al ornıqlılıqtıń zárúrli shárti bolıp tabıladı.
Solay etip, garmonik usılı sxemanıń ornıqlılıǵın yamasa ornıqsızlıǵın anıqlap beredi.
4.2. tasıw teńlemesiniń sxemalarınıń ornıqlıǵın izertlew
Joqarıda biz tasıw teńlemesine eki túrli sxema dúzdik. Olardıń ornıqlılıǵın analizlew ushın garmonik usılınan paydalanamız. Meyli, dáslep
(9)
ayırmalar teńlemesin qarayıq. Meyli bolsın. Onda (9)-ayırmalı teńleme

garmonikasına aparıp qoyamız, yaǵnıy
(10)
Bul sońǵı (10) teńlemeni ge qısqarta otırıp
(11)
ańlatpasına iye bolamız. Bunda -parametr. Demek, garmonikalar hár bir ushın (11)-formula boyınsha esaplanadı hám ol (9)-ayırmalar teńlemesiniń sheshimi boladı. (11)-ni esapqa alıp onıń absolyut mánisiniń kvadratın tabayıq:

Bunda, bolǵanlıqtan, da oń boladı. Bul degenimiz tordıń adımları hám larǵa ǵárezsiz barlıq ti qanaatlandıratuǵın lar ushın

Teńsizligi orınlı boladı. Egerde sxema barlıq waqıt ornıqsız bolsa, onda ornıqlıqtıń zárúrli shárti orınlanbaydı. Ornıqsızlıqtıń bunday túri absolyut ornıqsızlıq dep ataladı.
Endi tasıw teńlemesi ushın
(12)
ayırmalar teńlemsin qarayıq. Joqarıdaǵı sıyaqlı (12)-teńlemege garmonikasın qoyıp dı tabamız hám onıń moduliniń kvadratın esaplaymız:

Bunnan
(13)
Bul sanǵa teńsizliklerden bolǵanda ornıqlıqtıń zárúrli shárti orınlanbaydı, demek bul jaǵdayda sxema ornıqsız boladı.
Sońǵı (13)-teńsizliktiń birinshi shárti ornıqlıqtıń zárúrli shártin beredi, biraq jetkilikli shártin bere almaydı. Ornıqlıqtıń jetkilikli shártin izertlew ushın arnawlı usıllar bar.
4.3.Oraylasqan ayırmalar sxeması. Taslaw teńlemesine joqarıdaǵı bir tárepleme ayırmalı sxemalardan basqa oraylasqan ayırmalar sxemasın dúziwge boladı:
(14)
(15)
(14),(15)-sxemanıń joqarıdaǵı sxemalardan ózgesheligi ol keńislik boyınsha ekinshi tártipli approksimaciyaǵa iye.
Bul (14),(15)-sxema absolyut ornıqsız ekenin kórseteyik. Bul ushın ornıqlıqtıń zárúrli shártin beretuǵın garmonik usılın qollanayıq. (14)-teńlemege dara sheshimin qoysaq tómendegige iye bolamız:

Bunnan

Demek, barlıq di qanaatlandırıwshı hám lar ushın

Solay etip, (14),(15)-sxema nıń qálegen mánisinde hám tor adımlarınıń qálegen qatnasında ornıqsız boladı eken.
4.4. Anıq emes sxemalar. Joqarıda sızıqlı tasıw teńlemesi ushın dúzilgen sxemalar anıq sxemalar edi, yaǵnıy waqıt boyınsha ayırmalı tuwındını jazıw ushın bul sxemalarda tómendegi waqıt qatlamındaǵı ayırmalı sheshimniń mánisi paydalanıldı. Bul sxemalar eki qatlamlı sxema bolǵanlıqtan onı realizaciyalaw oǵada ańsat.
Endi anıq emes sxemalardı qarap óteyik. Joqarıda qarap ótken sxemalar sıyaqlı tómendegi birtárepleme ayırmalı tuwındılarǵa iye sxemalardı dúzemiz:
(17)


(18)
Bul sxemalardı sáykes shablonları 10-sızılmada keltirilgen.

10-sızılma
Bundayanıq emes sxemalar shegaralıq mánislerdi sheshiwde qol keledi. Mısalı, tasıw teńlemesi ushın yarım sheksiz oblastında berilgen tómendegi shegaralıq máselesin qarayıq :
(18)
Bul (18)-máseleniń anıq sheshimi tómendegi formula arqalı beriledi (11-sızılma)

Bul (18)-másele ushın (17)-sxemanı qarayıq:
(19)

(20)
(21)

11-sızılma
Bul (19)-(21)-sxemanıń algoritmi tómendegishe. Meyli -qatlamdaǵı sheshim bolǵan torıq funkciya tiń mánisi belgili bolsın. Onda diń mánisi shegaralıq túyinlerde (21)-shárt arqalı anıqlanadı.
Shablondı tordıń birinshi túyini ge qoyıp (12-sızılma) bizge belgili bolǵan hám lerdiń mánisleri arqalı (19)-teńlemeden

diń mánisin esaplaymız. Endi shablondı ońǵa qaray tordıń bir intervalına jıljıtıp hám joqarıdaǵı processti qaytalay otırıp niń mánisin (belgili bolǵan boyınsha) tabamız.

Usılayınsha izbe-iz shablondı jıljıta otırıp barlıq diń mánisler izbe-izligin tómendegi formula boyınsha tabmız:

Solay etip, (19)-(21)-sxema anıq emes sxema bolıwına qaramastan, ol joqarıdaǵı algorıtm boyınsha anıq túrde sheshiledi eken. Bunday algorıtmlerdi ádette jıljıp esaplawshı sxemalar dep ataydı.
Sxemanıń ornıqlıǵın kórseteyik. Bul ushın (19)-ayırmalar teńlemesin tómendegi kóriniste jazamız:
(22)
Bunnan . Endi torlıq normanı tómendegishe anıqlaymız.

Bunda maksimum ishki tochkaları boyınsha alınadı. Onda (23)-ańlatpadan

Bul jerde eki jaǵday bolıwı múmkin: birinshisi torlıq funkciyanıń -qatlamdaǵı maksimumı shegaralıq tochkada ámelge asıwı múmkin:

Yamasa ishki tochkalarda ámelge asıwı múmkin. Onda (22)-den

Ańlatpasına iye bolamız. Bul sońǵı eki teńsizlikti biriktire otırıp tómendegini jazıw múmkin:

Bul sońǵı teńsizlikti izbe-iz qollanıp tómendegige iye bolamız:

yamasa

Bul alınǵan sońǵı teńsizlik (19)-(21)-sxema ushın maksimum princpi orınlı ekenin kórsetedi, yaǵnıy sheshimi absolyut shaması boyınsha eń joqarı mánisti (maksimumdı) shegarada yamasa baslanǵısh waqıtta qabıl etedi. Bul sxemanıń baslanǵısh shártler hám shegaralıq shártler boyınsha ornıqlıǵın támiynleydi.
4.5. mmm teńlemeler sistemasına sxemalar
mmm teńlemeler sisteması ushın Koshi máselesi tómendegishe qoyıladı. Berilgen oblastında
(24)
Birinshi tártipli eki differenciallıq teńlemele sistemasınıń
(25)
baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın sheshimi izertlenedi. Bunda -turaqlı san.
Bul (24),(25)-differenciall<ı máseleni approksimaciyalawshı ayırmalı sxemalar kópligin tómendegishe jazıwımız múmkin:
(26)
Bunda - erkli turaqlı parametrler (sanlar).
Bul jerde tómendegi belgilewler kirgizildi:

(26)-sxemalar kópliginen konkret jaǵdayın saylap alayıq hám onı undeksli túrinde jazayıq:
(27)
Bul sxemanıń ornıqlıǵın garmonik usılı menen izertlew dara ayırmalı sheshimin
(28)
túrinde izertleyik. Bunda -garmonika amplitudaları, , - erkli haqıyqıy san, -anıqlanıwı kerek bolǵan kompleks san. Bunda (28)-funkciyalar keńislik boyınsha periodlı funkciyalar bolıp tabıladı. Bul Koshi máselesi bolǵan jaǵdayda. Egerde shegaralıq másele qaralıp atırǵan bolsa, onda sáykes setkalıq menshikli funkciyalardı qaraw kerek boladı.
(28)-ańlapalardı (27)-ge qoyıp tómendegi algebralıq teńlemeler sistemasına iye bolamız:

Bul sistema nolden ózgeshe sheshimge iye bolıwı ushın onıń determinantı nolge teń bolıwı kerek. Bul tómendegi teńlemeni beredi:

Bul kvadrat teńlemeni sheship onıń korenlerin tabamız:
(29)
Meyli Kurant kriteriyası orınlanbasın, yaǵnıy

Onda (29)-ańlatpadan koren astındaǵı ańlatpa oń bolatuǵın diń mánisi tabıladı. Biraq hám korenleriniń absolyut shaması birden úlken boladı. Usınıń ózi Kurant kriteriyasınıń orınlanbawına alıp keledi. Bul ornıqsızlıqtı bildiredi. Egerde

shárti orınlansa, onda tasıw teńlemesiniń ayırmalı sxemasına uqsas bul sxemada ornıqlı boladı.
Endi (26)-sxemalar klasınan sxemasın qarayıq:

Bul sxemaǵa garmonik usılın qollana otırıp onıń ornıqlılıǵın yamasa ornıqlı emes ekenin kórseteyik. Sxemanıń dara sheshimin

túrinde izertleymiz hám uhsın tómendegi

Ańlatpasına iye bolamız. Egerde bunnan

bolsa, onda koren astında teris shama payda boladı, yaǵnıy hám kompleks sanlar boladı, yaǵnıy

Egerde

bolsa, onda hám ler haqıyqıy sanlar boladı. Bul jaǵdayda da dıń birewi birden úlken boladı. Demek garmonik usılı bul joqarıdaǵı sxemanıń ornıqsızlıǵın kórsetedi.
Bul jerde soni da aytıp ótiwimiz orınlı boladı. Egerde bul joqarıdaǵı sxemaǵa onıń ornıqlılıǵın yamasa ornıqsızlıǵın kórsetiw ushın energetikalıq teńsizlik usılın qollansaq, onda bul sxema shártin orınlı ekenin kóriwǵe boladı.
4.6. Jabısqaqlı tasıw teńlemesine sxema. Ayrım jaǵdaylarda teńlemege bazıbir qosımsha ańlatpanı qosıw arqalı onıń ayırmalı sxemasınıń ornıqlı bolıwına alıp keliwimiz múmkin. Meyli bunday jaǵdayda jabısqaqlı tasıw teńlemesi mánisinde qarap óteyik.
(30)
Bul teńlemege oblastında

baslanǵısh shártli Koshi máselesi sheshiledi. Bunda -jabısqaqlıq koefficienti. Eger bolsa, biz ápiwayı tasıw teńlemsin alamız.
Joqarıda kórsetkenimizdey tómendegi teńleme orınlı boladı:

Bul jerde ekinshi dárejeli ayırmalı tuwındı birinshi dárejeli ayırmalı tuwındılardı ayırmalı túrinde kórsetedi.
Tuwındı túyininde esaplanǵan hám oǵan qarata simmetriyalı boladı. Ekinshi dárejeli tuwındını sál basqashalaw da anıqlawǵa boladı:

teń adımlı torlarda boladı.
Solay etip, (30)-jabısqaqlı tasıw teńlemesiniń ayırmalı sxemasın (anıq sxema) tómendegishe jazıwǵa boladı:
(31)
Bunna basqa da sxemalardı dúziwge boladı.
Meyli baslanǵısh shárt tómendegishe bolsın:
(32)
Anıqlıq ushın meyli bolsın. Egerde bolsa sxemanıń ornıqlılıǵınıń zárúrli hám jetkilikli shárti

Kurant shártiniń anıqlanıw boladı. Endi jaǵdayında sxemanıń ornıqlıǵın analiz isleyik. Garmonik usılı tiykarında ayırmalı sheshimdi
(33)
Túrinde izleymiz. Bunda - erkli haqıyqıy san, -kompleks san. Endi di (31)-ge qoyıp

Ańlatpasına iye bolamız. Bunnan:

bunda ,
Egerde bul jerde jabısqaqlıq bolmasa , onda Kurant kriteriyasınıń orınlanbawı sxemanıń ornıqsızlıǵına alıp keledi. . Al endi bolǵanda sxema Kurant kriteiyası orınlanǵan jaǵdayda ornıqsız bolıwı mǵmkin.
Meyli bolsın. (33)-túrdegi setkalıq garmonikanıń dara jaǵdayın qarayıq:

Onda

Bunda sxema ornıqsız bolıwı ushın

teńsizliginiń orınlanıwı múmkin. Solay etip, jabısqaqlıq koefficientiniń qáte saylap alınıwı hátteki Kurant kriteriyası orınlanǵan jaǵdayda da sxemanıń ornıqsızlıǵına alıp keledi eken.
4.7. Jabısqaqlı akustika teńlemesine sxema. Jabısqaqlı akustika teńlemeler sisteması tómendegishe jazıladı:
(34)

Ádette (34)-sistema ushın “krest” sxeması tómendegishe jazıladı:

(35)
Bunda
Endi ornıqlıqtı izertlew ushın (35)-sxemaǵa garmonik usılın qollanamız. (35)-ayırmalı teńlemeler sistemasınıń dara sheshimlerin
(36)
Túrinde izleymiz. Bul jerde -ádettegishe ekrli haqıyqıy san, -kompeks san, ol (36)-garmonikalar (35)-teńlemeni qanaatlandıratuǵınday etip saylap alınadı.
Endi (36)-nı (35)-ge qoyıp tómendegishe birgelikli algebralıq teńlemeler sistemasına iye bolamız:

Bunda , . Bul sistemanıń determinantınıń nolge teń bolıwı ushın tómendegi teńlemeni beredi:

Bul sońǵı kvadrat teńlemeniń korenleri

Bul sońǵı ańlatpadan koren astındaǵı ańlatpa teris hám korenleriniń kompleks jaǵdayın qarayıq. Bul ushın
(37)
Bolıwı kerek. Bul teńsizlik óz gezeginde orınlanadı, egerde parametr oǵada kishi bolsa, yaǵnıy
, (38)
al parametr

Intervalına jaylassa.
Eger (37)-shárti orınlansa, onda moduliniń kvadratı

ge teń boladı. Onda (38)-na hóm ekenin esapqa alsaq

boladı. Bul óz gezeginde sxemanıń ornıqlıǵın beredi.

5-§. Sanlı mısallar

Juwmaqlaw
Solay etip, bul jumısta dara tuwındılı stacionar emes differenciallı teńlemelerdi sheshiwdiń shekli ayırmalar usılı qaraldı. Tiykarınan ayırmalı usıllardıń ornıqlıǵın izertlew máselesi qarap ótildi. Atap aytqanda ayırmalı usıllardıń ornıqlıǵın izertlewdiń kóplegen usıllarınıń biri bolǵan garmonik usılı qaraldı.
Kirisiw bóliminde qoyılǵan máseleniń esaplaw matematikasındaǵı ornı, házirgi waqıttaǵı úyrenilgen dárejesi hám qoyılǵan máseleniń basqalarǵa qaraǵanda abzallıqları atap ótildi.
Birinshi paragrafta usı jumısta paydalanılǵan tiykarǵı matematikalıq túsiniklerge toqtaldı. Atap aytqanda sızıqlı algebra hám funkcionallıq analizsdiń elementleri hám t.b. túsiniklerge toqtaldı.
Ekinshi paragrafta dara tuwındılı differenciallıq teńlemelerdiń sheshimin tabıwdıń shekli ayńrmalar usılına baǵıshlandı.
Úshinshi paragrafta ornıqlılıqtı izertlewdiń garmonik usılı haqqında qısqasha bayan etildi.
Tórtinshi paragrafta garmonik usılı hár qıylı sxemalardıń ornıqlıǵın izertlewge qollanıldı.
Besinshi paragrafta sanlı mısallar qarap ótildi.
Jumıs juwmaqlaw hám paydalanılǵan ádebiyatlar dizimi menen juwmaqlandı.

Paydalanılǵan ádebiyatlar

1.Самарский А.А. Теория разночных схем. М.:Наука, 1977.-656с.
2.Калиткин Н.Н. Численные методы. М.:Наука, 1978.-512с.
3.Пирумов У.Г., Рослеков Г.С Численные методы газовой динамики. М.;Высшая школа, 1987-232с.
4.Боглаев Ю.П. Вичислительная математика и программирование М.;Высшая школа, 1990.-544с.
5.Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.:Наука, 1978.-416с.
6.Разностные методы решения задач газовой динамики. М.:Наука, 1980.-352с.
7. Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.:Издательство МГТУ им.Н.Э.Баумана, 2001.-320с.
8.Самарский А.А. Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.:Физматлит, 2005.-320с.
9.Утебаев Д., Москальков М.Н. Численное моделированое нестационарных процессов механика силошной среды. Ташкент,Фан,2012.-180с.
10.Отаров А.,
11. Отаров А.,
12. Утебаев Д., Бабаиев С.Н. Исследование взаимодействия газожидностьных систем чиленными методыми. –Нукус, Билим, 2004.152с
13.Рахматйор Р.Мпртон К. Разностьные методы решения