2. 4-mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning bir necha XIL usullari. 4-mavzu rejasi

2.4-MAVZU:
Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechishning bir necha xil usullari.


2.4-MAVZU REJASI:
1.Birlik va Teskari matritsa haqida tushuncha.
2.Tenglamalar sistemasini teskari matrisa yordamida yechish.
3. Tenglamalar sistemasini Kramer usuli yordamida yechish.


Teskari matritsa.n- tartibli kvadrat matritsa

ning bosh dioganali a₁₁,a_22, … ,a_nn dagi barcha elementlar 1 ga,qolgan elementlar esa 0 ga teng bo’lsa, bu matritsa birlik matritsa deyiladi va E harfi bilan belgilanadi.
Ushbu

Matritsalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli birlik matritsalardir.
Birlik matritsa alohida ahamiyatga ega:istalgan n- tartibli A kvadrat matritsani n-tartibli E birlik matritsaga ko’paytirish natijasida A matritsaning o’zi hosil bo’ladi,ya’ni AE=A.
Agar n-tartibli A va B kvadrat matritsalar uchun AB=E tenglik o’rinli bo’lsa, B matritsa A matritsaga teskari matritsa deyiladi.

1-misol:

Matritsaga teskari matritsa topamiz.

Yechish: Berilgan matritsaning determinantini topamiz:



bo’lganidan A matritsaga A^-1 teskari matritsa mavjud.Uni tuzish maqsadida A matritsa elementlarining algebraic to’ldiruvchilarini topamiz:

Endi A matritsadagi har bir elementni uning algebraik to’ldiruvchisi bilan almashtirishdan hosil bo’ladigan

matritsasini tuzamiz va uni transpornirlaymiz:

U holda,bu matritsaning teskari matritsasi quyidagiga teng:


2-misol: Matritsaga teskari matitsa topamiz.
Yechish: =4-4=0 bo’lgani uchun berilgan matritsaga teskari matritsa mavjud emas.
Tenglamalar sistemasini Teskari matritsa yordamida yechish:

3-misol:

Tenglamalar sistemasini yechamiz.

Yechish:Berilgan sistemani matritsaviy shaklda yozib olamiz:


Matritsaning determinanti |A|= ≠ 0 bo’lgani uchun A^-1 matritsa mavjud.Uni tuzamiz:

U holda

tenglikni olamiz.Demak, x=2, y=-5, z=3.
1-teorema:(Kramer qoidasi).Agar A=(a_ik) ∈M_n maxsusmas bo’lsa,u holda

Chiziqli tenglamalar tizimi ushbu

yagona yechimga ega.Bu yerda Δ=det A va Δ_k esa Δ ning
k -ustunini ozod hadlar ustuni bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinant(k=1,n).


2-teorema.Agar

bo’lsa,u holda

chiziqli tenglamalar tizimi yagona

yechimga ega,

bu yerda