2 laboratoriya ishi birо‘lchamli chiziqli regression modellarni qurish. Mashg’ulot maqsadi

2 - LABORATORIYA ISHI


BIRО‘LCHAMLI CHIZIQLI REGRESSION MODELLARNI QURISH.


Mashg’ulot maqsadi: Optimallash usullari va matematik tahlil usulini o’rganish

Kesmani teng ikkiga bo’lish usuli (dixotomiya usuli)
Bu usul f(x) funksiya haqida ma’lumotlar juda ham kam bo’lganda foydalanishga qulay. Faraz qilaylik, f(x) funksiya (a,b) intervalda nolga aylanishini aniqladik, bunda ildizdan chaproqda f(x)<0 va o’ngroqda esa f(x)>0. Bunday holda izlanayotgan ildizni topish murakkab bo’lmaydi. Kesmani teng ikkiga bo’lamiz va hosil bo’lgan xi nuqtada funksiyaning ishoraini qaraymiz. Agar f(xi)>0 bo’lsa, yuqori chegarani b = xi deb, aksincha esa quyi chegarani a = xi deb siljitamiz va hokazo (2.1-rasm).
Bularni quyidagicha ham ifodalash mumkin:
Faraz qilaylik, f(a) f(b) < 0. a0 = a va b0 = b deb belgilash kiritamiz. U holda ketma–ket yaqinlashish quyidagicha:


Bu jarayon f(xn+1) = 0 bo’lganda to’xtatiladi va x = xn+1 deb qabul qilinadi. Bu usul kesmani teng ikkiga bo’lish usuli, dixotomiya usuli (grekchadan διχα
– ikki qismga – kesish), biseksiyalar usuli yoki vilka usuli deb ataladi.

1.1–rasm. Kesmani ikkiga bo’lish usulining sxematik tasviri.

Agar tenglamaning qolgan ildizlarini ham aniqlash zarurati tug’ilsa, u holda g(x) = f(x)/(x- x ) tenglikdan ketma-ket foydalanib, har safar topilgan x ildiz chiqarib tashlanadi (endi g(x) = 0 va f(x) = 0 tenglamalarning x (bu nuqta g(x) funksiya uchun qutb, f(x) funksiya uchun esa ildiz) dan boshqa barcha ildizlari mos keladi).
Talab qilingan aniqlikdagi yechimga erishish uchun avvalo g(x) funksiyaning ildizi qo’pol holda bo’lsa ham topiladi, keyin esa bu ildiz f(x) funksiyadan foydalanib aniqlashtiriladi.
Bu usulning yaqinlashish tartibi 1 ga teng, ya’ni bu usul chiziqli yaqinlashish tezligiga ega, ya’ni {xn} ketma-ketlik maxraji 1/2 ga teng bo’lgan geometrik progressiya tezligi bilan ildizga yaqinlashadi.
Bu usul uchun hisob tugashining kriteriyasi ushbu

shartning bajarilishidan iborat, bunda ε – berilgan absolyut aniqlik. Bu yerdan kelib chiqadiki, berilgan ε aniqlik bilan ildizni hisoblash uchun zarur bo’lgan N – iteratsiyalar soni qiyidagi tengsizlikdan aniqlanadi:

Usulning qulayliklari:

• 
  f(x) funksiya haqida ma’lumotlar kam bo’lganda ham undan foydalanish juda qulay;
  
• 
  kesmani ikkiga bo’lish algoritmi juda sekin, ammo barcha noqulayliklardan holi.
  

Usulning kamchiliklari:

• 
  ko’p hollarda funksiyaning holati juda murakkab bo’lib, bu chetki nuqtalarida funksiyaning ishorasi har xil bo’lgan [a,b] oraliqni oldindan aniqlashga qiyinchilik tug’diradi;
  
• 
  yaqinlashish juda sekin;
  
• 
  uni tenglama karrali (jufr karrali) va kompleks ildizlarga ega bo’lganda qo’llab bo’lmaydi;
  
• 
  sodda bo’lmagan ildiz, masalan, ildiz funksiyaning ekstremum nuqtasi bilan mos kelganda (2.2-rasmda x2 nuqta), bu usulni qo’llab bo’lmaydi, chunki bu holda ildiz atrofida funksiya o’z ishorasini almashtirmaydi.
  
• 
  agar tenglama [a,b] oraliqda bir nechta ildizga ega bo’lsa, u holda hisoblash jarayonida shu ildizlardan qaysi biri topilishi noma’lum.
  
• 
  uni bir nechta tenglamalar sistemasiga qo’llab bo’lmaydi. Usulning algoritmi:
  

1. 
   f(a) va f(b) ni hisoblang;
   
2. 
   c = (a + b)/2 deb f(c) ni hisoblang;
   
3. 
   agar sign(f(c)) = sign(f(a)) bo’lsa a = c deb, aks holda esa b=c deb almashtirish oling (bunda sign ishora funksiyasi);
   
4. 
   agar b – a > ε bo’lsa, u holda qadam 2 ga o’ting, aks holda hisob jarayonini to’xtating (chunki biz talab qilingan ε – absolyut aniqlikka erishdik). Oxirgi kesma uchlaridan xoxlagan bittasi yoki ular yig’indisining yarmini berilgan f(x)=0 tenglamaning yechimi deb qabul qilishimiz mumkin.
   

Ilova 2-rasmda kesmani teng ikkiga bo’lish (dixotomiya) usulining bloksxemasi tasvirlangan.

1. 
   misol. Ushbu x4–x3–2x2+3x–3 = 0 tenglamaning ildizlarini analitik yo’l bilan ajratining va uning ildizlaridan birini ε = 0,01 aniqlik bilan kesmani teng ikkiga bo’lish usulidan foydalanib toping.