2-laboratoriya ishi

O’lchashlarning statistik xatoligi.

O’lchanayotgan kattaliklarning o’zi extimollik xarakteriga ega bo’lishidan kelib chiqadigan xatolik, boshqa tasodifiy xatoliklar orasida sezilarli rol’ o’ynaydi. Statistik xatolik, o’lchalanayotgan kattalikning o’rtacha qiymat atrofida fluktuatsiyasi tufayli hosil bo’ladi. Fluktatsiyaning ro’y berishiga asosiy sabab, moddalarning diskret, atom strukturasiga ega bo’lishidir va o’lchashlar soni qanchalik kam bo’lsa, u shunchalik aniq seziladi. Yadro nurlanishlarini qayd qilgichlarda o’lchashlar olib borilganda, sanash tezligi kichkina bo’lganda, fluktuatsiya xatolikning asosiy manbai bo’lib qoladi.
Biz ko’rayotgan xol uchun, fluktuatsiyaning taqsimot funktsiyasi Puasson formulasi bilan beriladi, qaysiki, dispersiyani hisoblash imkonini beradi. Alxissa, qayd qilgichga vaqt birligida tushayotgan o’rtacha zarralar soni n bo’lsin. U xolda, t vaqt ichida N zarralar tushish extimolligi Puasson formulasi bilan ifodalanadi.

W (N )
 exp(
nt)
(nt) ^N


N!
(3)

n ning turli qiymatlari W(N) ning N ga bog’lanishi 1 - rasmda ko’rsatilgan. N ortib borishi bilan taqsimot maksimumi silliqlashib boradi va egri chiziqning o’zi N = nt ga nisbatan simmetrik ko’rinishiga yaqinlashadi. N ning katta qiymatida grafik simmetrik, N ning kichik qiymatida aksincha, keskin asimmetrik ko’rinishiga ega.

1-rasm
W(N) ifodasidan ko’rinadiki n ning ixtiyoriy qiymatlarida N ning xar qanday qiymati mavjud bo’lishi mumkin ekan. Lekin xamma hodisalar ham bir xil tez-tez sodir bo’lmaydi. Agarda N ning qiymati nt ga yaqin bo’lsa, W(N) extimollik katta, aks xolda extimollik kichik bo’ladi. Shuning uchun, tasodifiy kattalik N ni o’rtacha qiymatidan (nt) chetlatishini baholash maqsadida yangi kattalik kiritishga to’g’ri keladi (fluktuatsiya o’lchovi). Bunday chetlanish o’lchovi dispersiya D(N) hisoblanadi. Berilgan taqsimotining dispersiyasini D(N) ya’ni N ning o’rtacha qiymatidan (N = nt) o’rtacha kvadratik chetlatishini hisoblaymiz.

  ^N  ^




N 1
N 1 _{N }

D(N )  _(N  N )  eN _(N  N )^{2 N}  eN _^N  ^{N  N} 2N 2 ^N  N ^{2 N }

_{0 0} N!
₀ ^ (N 1)!

(N 1)!
N! ^


• 
  2 _N 2 _N 2 _N
  

Yig’indining ikkinchi va uchinchi xadlari quyidagiga teng:
2N e  N e  N e
Birinchi xadi quyidagiga teng:
^∞ _{𝑁 · 𝑁̅}𝑁−1 ^∞ _𝑁̅𝑁−2 ^∞ _𝑁̅𝑁−1
∑ 𝑁^̅ = ∑ ^̅𝑁^̅̅2̅ + ∑ 𝑁^̅ = 𝑁^̅2 𝑒̅^𝑁̅ + 𝑁^̅𝑒̅^𝑁̅

⁽𝑁 − 1⁾!
0 2
⁽𝑁 − 2⁾!
⁽𝑁 − 1⁾!
1

Natijada quyidagini olamiz.
𝐷⁽𝑁⁾ = 𝑒̅^{−̅̅̅𝑁̅̅(}𝑁² + 𝑁^̅ − 𝑁^̅2)𝑒̅^𝑁̅ = 𝑁^̅ (4)

Shunday qilib zarralar sonining dispersiyasi t vaqt intervalida qayd qilgichga tushgan zarralar soning o’rtacha qiymatiga teng. Haqiqiy o’rtacha qiymat noma’lum shuning uchun dispersiyani zarralar soniga tenglashtirib olamiz D(N)=N. Sanalgan zarralar sonining o’rtacha kvadratik xatoligi, dispersiyaning kvadrat ildiziga teng. Qayd qilingan zarralar soni ko’sh bo’lganda Puasson taqsimoti Gauss taqsimotiga o’tadi. Bunda dispersiya D(N) = N qoladi.

W⁽𝑁⁾𝑑𝑁 = 1 𝑒𝑥𝑝 [−
^√2𝜋𝑁^̅
(𝑁 − 𝑁^̅)²
_2𝑁̅2 ] 𝑑𝑁

Zarralar o’rtacha soni ortib borishi bilan taqsimot kengligi sekin ortib
boradi. Boshqacha qilib aytganda, o’rtacha kvadratik xatolik nt ortishi bilan ortadi, ammo, nisbiy xatolik zarralar sonidan olingan kvadrat ildiziga teskari proportsional ravishida kamayib boradi.

𝛿 = 𝜎



₌ √^𝑁 ₌ ¹

𝑁 𝑁
√^𝑁

Bu ifodadan, oldindan berilgan nisbiy xatolik uchun zarralar sonini
hisoblash mumkin:
𝑁 = 1
_𝛿2


SHunday qilib, zarralar sonini 10% nisbiy xatolik bilan o’lchash zarur bo’lsa, qayd qilgichda 100 ta zarra sanalishini kutish kerak. Statistik xatolik 1% bo’lishi uchun zarralarni sanashlar soni 104ta, 0,1% bo’lishi uchun esa 106 zarralarni qayd qilishi kerak. Agarda t vaqt ichida N ta zarralar qayd qilingan bo’lsa, shu vaqt ichida qayd qilingan o’rtacha zarralar soni 68,3% extimollik bilan
^{𝑁 −} √^{𝑁 𝑑𝑎𝑛 𝑁 +} √^{𝑁 gacha oraliqda bo’ladi.}

Ikkita kattalikni yig’indisi, yoki ayirmasining o’rtacha kvadratik xatoligi teng bo’ladi.
𝜎⁽X₁ ± X₂⁾ = ^√𝜎² + 𝜎²
1 2
Agarda t vaqt oralig’ida N zarralar qayd qilingan bo’lsa, vaqt birligida qayd qilingan o’rtacha zarralar soni, ya’ni sanash tezligi n = N/t ga teng. Sanash tezligining dispersiyasi quyidagi ifodadan topiladi,

𝜎
2
𝜎² = ^𝑁
= 𝑛𝑡



= 𝑛

𝑛
O’rtacha kvadratik xatolik,
_𝑡2
𝑡² 𝑡

Nisbiy xatolik,
𝜎_𝑛


= ^√𝑛
𝑡

𝛿 = ^𝜎𝑛






₌ √^𝑛/𝑡 ₌ ¹ ₌ ¹

𝑛 _𝑛
^𝑛 √^𝑛𝑡 √^𝑁

Tajriba natijalarini keltirganda xamma vaqt o’rtacha kvadratik
xatolik bilan birga keltirish kerak. Agarda natijalar grafik ko’rinishda keltirilsa, xar bir nuqta uchun o’rtacha kvadratik xatolik ko’rsatiladi.