2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

6.Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari. Diofant tenglamalari. Sonlar nazariyasining muhim funksiyalari.
Sonlar nazariyasi — matematikaning butun sonlar, ratsional va algebraik
sonlar xossalarini oʻrganishga bagʻishlangan boʻlimi. Sonlar nazariyasi juda qadim davrlarda rivojlana boshlagan.Eramizdan oldingi VI asrdayoq Gretsiyada,Pifagor
maktabida butun sonlarning har xil xossalari (ularning boʻlinishi, tub va murakkab
sonlar sinflariga ajralishi) oʻrganilgan.
Sonlar nazariyasi qadimdan bevosita arifmetikaning rivojlanishidan vujudga kelgan. Pifagor (mil. av. 6-a.) maktabida butun sonlarning boʻlinishi, mukammal sonlar strukturasi oʻrganildi, sonlar sinflar (mas, tub sonlar, murakkab sonlar, kvadrat sonlar)ga ajratildi. Yunon matematiklari Yevklid, Eratosfen va Diofantning ishlari Sonlar nazariyasiga bagʻishlangan edi. Sonlar nazariyasining ayrim masalalari Xitoyda (2—6-a.lar) va Hindistonda (7— 12-a.lar) ham oʻrganilgan.
Yevropada Sonlar nazariyasining ravnaqi fransuz matematigi P. Ferma (17-a.) ishlari bilan boshlandi. L. Eyler (18-a.) funksional qatorlar bilan ayrim cheksiz
koʻpaytmalar orasidagi ayniyatlarni isbotlab, analitik Sonlar nazariyasiga asos
soldi. Gauss taqqoslash nazariyasini yaratdi va formalar nazariyasiga asos soldi.
1-TA’RIF. Haqiqiy x sonning BUTUN QISMI deb, X dan katta bo‘lmagan eng katta butun songa aytiladi va [x] ko‘rinishda belgilanadi. [x]-‘ant’e iks’.
Masalan, [-l,5]=-2, [-1]= -1, [0]=0, [1,5]=1, [𝜋]=3.
2-ta’rif. Haqiqiy x sonning kasr qismi deb 𝑥 − [𝑥] ayirma bilan aniqlanadigan songa aytiladi va {𝑥} ko‘rinishda belgilanadi. Masalan, {-0,3} =
0,7, {− 1
2
} =0,5; {√2} = √2-1; {1} = 0.
Xossalar:
l)[𝑥] ≤ 𝑥
2)[𝑥 + 𝑎] = [𝑥] + 𝑎, bu yerda A- ixtiyoriy butun son; 3) [𝑥 + 𝑦] ≥ [𝑥] + [𝑦] , 𝑥, 𝑦 - ixtiyoriy haqiqiy sonlar;

• {𝑥} = 𝑥 tenglik 0 ≤ 𝑥 < 1 boʻlgandagina bajariladi;
• {𝑥} = {𝑦} tenglik 𝑥 − 𝑦 = 𝑛 (bu yerda n-butun son) boʻlgandagina bajariladi;
• Ixtiyoriy 𝑥 uchun {𝑥 + 1} = {𝑥} bo‘ladi.

Shunday qilib, 𝑦 = {𝑥} funksiya eng kichik davri 1 ga teng boʻlgan davriy funksiyadir. Uning grafigi 2-rasmda keltirilgan.

Sonning butun qismi va kasr qismiga doir tenlamalar.
1) [𝑥 + 5] = 3 tenglamani yeching. Yechish: 3 ≤ 𝑥 + 5 < 3 + 1
−2 ≤ 𝑥 < −1
Javob: 𝑥Є[−2; −1)
3) {𝑥 + 5} = 0,3 tenglamani yeching. Yechish: 𝑥 + 5 = 𝑛 + 0,3; 𝑛Є𝑍.
𝑥 = 𝑛 − 4,7
Javob: 𝑥 = 𝑛 − 4,7; 𝑛Є𝑍.
2) [𝑥 + 5] = 3,6 tenglamani yeching. Yechish: Tenglik chap tomoni butun son, o‘ng tomoni butun bo‘lmagan son. Javob: yechim yo‘q.
4) {𝑥 + 5} = 3,6 tenglamani yeching. Yechish: Tenglik chap tomoni qiymati 1 dan kichik va u o‘ng tomoni qiymati bo‘lmish 3,6 ga teng bo‘lolmaydi. Javob: yechim yo‘q.
5) [2𝑥 + 1] = 𝑥 + 2 tenglamani yeching.
𝑥 + 2 ≤ 2𝑥 + 1 < 𝑥 + 3
𝑥 + 1 ≤ 2𝑥 < 𝑥 + 2 1 ≤ 𝑥 < 2
𝑥 + 2𝜖𝑍 ⇒ 𝑥𝜖𝑍
Javob: x=1.
6) Tenglamani yeching. [2𝑥−3] = 𝑥
3 2
Yechish: ≤
2 3
𝑥 2𝑥−3 𝑥
< + 1
2
3𝑥 ≤ 4𝑥 − 6 < 3𝑥 + 6
6 ≤ 𝑥 < 12
−butun son ekaninin hisobga olsak,
𝑥 2
𝑥𝜖{6,8,10} bo‘ladi.