2-Maruza : Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan yuqori tartibli differensial tenglamalar. Chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini strukturasi haqida teorima va Voronskiy determinant. Reja

2.2 Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar
(5)
ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani yechimlarini ba’zi-bir xossalari bilan tanishib chiqamiz.
57.2-teorema. Agar va funksiyalar bir jinsli (57.6) tenglamaning yechimlari bо‘lsa, u holda
(6)
funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerdagi lar ixtiyoriy o’zgarmaslar.
Teoremaning to’g’riligiga (6) ni bevosita (5) ga qoyish orqali ishonch hosil qilish mumkin.
(5) ikkinchi tartibli differentsial tenglamaning umumiy yechimi ham ikkita ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq bo’lganligi uchun

echim umumiy yechim bo’lmasmikin degan savol tug’iladi. Bu savolga quyidagi misol orqali javob topamiz.
tenglamaning va funksiyalar xususiy yechimlari bo’lgani uchun

ham uning yechimi bo’ladi. Ammo u umumiy yechim bo’laolmaydi. funksiya ham qaralayotgan tenglamaning , boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. Ammo bu yechimni

echimdan ixtiyoriy o’zgarmaslarning hech bir qiymatida hosil qilib bo’lmaydi, chunki . Shunday qilib funksiyalar (57.6) tenglamaning ixtiyoriy yechimlari bo’lganda ularning chiziqli kombinatsiyasi har doim ham (57.6) tenglamaning umumiy yechimi bo’lavermas ekan, ya‘ni (57.7) umumiy yechim bo’lishi uchun , funksiyalar ma‘lum shartlarni qanoatlantirishi lozim ekan.
2-ta‘rif. Agar intervalda ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differentsial tenglamaning ikkita va yechimining nisbati o’zgarmas songa teng bo’lsa, ya’ni

bo’lsa, u holda va yechimlar intervalda chiziqli erkli(bog’liqmas) yoki yechimlarning fundamental sistemasini tashkil etadi deb aytiladi. Aks holda yechimlar chiziqli bog’liq yoki yechimlarning fundamental sistemasini tashkil etmaydi deyiladi. Boshqacha aytganda shunday o’zgarmas son mavjud bo’lib intervalda yoki bo’lsa, u holda ikkita va yechim intervalda chiziqli bog’liq yoki yechimlarni fundamental sistemasini tashkil etmaydi deyiladi.
Biz yuqorida , va funksiyalar tenglamaning yechimlari ekanligini aytib o’tdik. Bulardan va yechimlar butun sonlar o’qida chiziqli bog’liq, va esa chiziqli erkli. Haqiqatan,
, .