2-maruza va amaliy mashg`ulot. Haqiqiy sonlar. Kompleks sonlar haqida tushuncha

Taqqoslama tushunchasi va uning xossalari

a va b butun sonlarni butun musbat soniga bo’lganda bir xil qoldiq qoladigan, ya’ni
a = mq₁ + r va b = mq₂ + r,
bo’lsa, a va b sonlar teng qoldiqdli yoki m modul bo’yicha o’zaro taqqoslanadigan sonlar deyiladi va quyidagicha yoziladi:
a  b (mod m)
“a son b bilan m modul bo’yicha taqqoslanadi” deb o’qiladi.
Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda a – b ayirma m ga qoldiqsiz bo’linadi, va aksincha, agar a va b sonlarning ayirmasi m ga bo’linsa, u holda a  b (mod m) o’rinli bo’ladi (taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teorema).
Har qanday butun son m modul bo’yicha o’zining qoldig’i bilan taqqoslanadi, ya’ni, agar a = mq + r bo’lsa, u holda a  r (mod m) bo’ladi.
Xususiy holda, agar r = 0 bo’lsa, u holda a  0 (mod m) bo’ladi; bu taqqoslama m | a ekanligini, ya’ni m soni a ning bo’luvchisi ekanligini bildiradi, aksincha ham o’rinli, agar ma bo’lsa, u holda a  0 (mod m) deb yoziladi.

Taqqoslamalarning asosiy xossalari

(tengliklarning xossalariga o’xshash)

1. 
   Agar a c (mod m) va b  c (mod m) bo’lsa, u holda a  b (mod m) bo’ladi.
   
2. 
   Agar a  b (mod m) va c  d (mod m) bo’lsa, u holda a  c  b d (mod m) bo’ladi.
   
3. 
   Agar a + b  c (mod m) bo’lsa, u holda a  c - b (mod m) bo’ladi.
   
4. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda a  mk  b (mod m), yoki a  b  mk (mod m) bo’ladi.
   
5. 
   Agar a  b (mod m) va c  d (mod m) bo’lsa, u holda ac  bd (mod m) bo’ladi.
   
6. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda aⁿ  bⁿ (mod m) (nN) bo’ladi.
   
7. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda ixtioriy k butun son uchun ak  bk (mod m) bo’ladi,.
   
8. 
   Agar ak  bk (mod m) va (k,m) = 1 bo’lsa, u holda a  b (mod m) bo’ladi.
   
9. 
   Agar f(x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n (a_i  Z) va x  x₁ (mod m) bo’lsa, u holda f(x)  f(x₁) (mod m) bo’ladi.
   

Taqqoslamalarninng maxsus xossalari

1. 
   Agar a  b (mod m) bo’lsa, u holda kN uchun ak  bk (mod mk) bo’ladi.
   
2. 
   Agar a  b (mod m) va a = a₁ d, b = b₁ d, m = m₁ d bo’lsa, u holda
   

a₁  b₁ (mod m₁) bo’ladi.

3. 
   Agar a  b (mod m₁), a  b (mod m₂), ..., a ( b (mod m_k) bo’lsa, u holda
   

a  b (mod M) bo’ladi, bu yerda M = [m₁, m₂,..., m_k].

4. 
   Agar taqqoslama m modul bo’yicha o’rinli bo’lsa, u holda bu taqqoslama m ning ixtiyoriy bo’luvchisi bo’lgan d modul bo’yicha ham o’rinli bo’ladi.
   
5. 
   Agar taqqoslamaning bir tomoni biror songa bo’linsa, u holda uning ikkinchi tomoni va moduli ham shu songa bo’linadi.
   

1-Misol. Quyidagi shartlarni taqqoslamalar yordamida yozing:
a) 219 va 128 sonlarni 7 ga bo’lganda bir xil qoldiq qoladi;
b) (-352) sonini 31 ga bo’linganida qoldiq 20 ga teng bo’ladi ;
c) 487 - 7 ayirma 12 ga bo’linadi; d) 20 – soni 389 ni 41 ga bo’lgandagi qoldiqdan iborat;
e) N soni juft; f) N soni toq; g) N sonining ko’rinishi 4k + 1 dan iborat;
h) N sonining ko’rinishi 10k + 3 dan iborat; i) N sonining ko’rinishi 8k – 3 dan iborat.
Yechilishi. Taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teoremaga asosan:
a) 219  128 (mod 7); b) –352  20 (mod 31); c) 487  7 (mod 12); d) 389  20 (mod 41);
e) N  0 (mod 2); f) N  1 yoki -1 (mod 2); g) N  1 (mod 4); h) N  3 (mod 10); i) N  -3 (mod 8). ■
2-Misol. Quyidagi shartni qanoatlantiradigan m ning qiymatlarini toping:
20  8 (mod m).
Yechilishi. m ning qiymatlari (taqqoslamaning ma’nosi haqidagi teoremaga asosan) 20 – 8 = 12 ning bo’luvchilaridan iborat, ya’ni: 1; 2; 3; 4; 6; 12. ■
3-Misol. 2⁵ⁿ – 1 ning 31 ga bo’linishini isbotlang (n  N).
Yechilishi. 2⁵ – 1 = 31 bo’lganligi uchun 2⁵  1 (mod 31). Bu taqqoslamaning ikkala tomonini (6-xossaga asosan) n darajaga ko’tarib, 2⁵ⁿ  1 (mod 31) ni hosil qilamiz, bu esa 31 (2⁵ⁿ – 1) ni anglatadi. ■
4-Misol. 2¹⁰⁰ sonining oxirgi ikkita raqamini toping.
Yechilishi. Berilgan sonning oxirgi ikki raqami bu sonni 100 ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqdan iborat. Demak, quyidagi taqqoslamani qanoatlantiradigan x sonini topish talab qilinadi:
2¹⁰⁰  x (mod 100).
Ikkining kichik darajalaridan boshlab, 100 ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqlarni ketma-ket ajratamiz:
2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = (1024)¹⁰; (1024)¹⁰  (24)¹⁰ (mod 100).
(24)¹⁰ = (576)⁵  76 ⁵  (76)⁴76 = (5776)²76  (76)²76 = 577676  76² 5776  76 (mod 100).
Shunday qilib, 2¹⁰⁰ sonining oxirgi ikki raqamir 7 va 6 dan iborat.
Algebraik shakldagi kompleks sonlar

Kompleks son deb haqiqiy sonlarning tartiblangan juftligiga aytiladi. (a, o) kompleks sonni haqiqiy sondan farqlamaydilar. Barcha kompleks sonlar to’plamini S orqali belgilanadi. (a,b) va (c,d) juftliklar ularning mos koordintalari teng bo’lgandagina teng deyiladi, ya’ni

Kompleks sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari quyidagi tengliklar yordamida kiritiladi
(a, v)+(c, d) = (a+c, b+d),
(a, b)×(c, d) = (ac-bd, ad+ bc)
(0,1) kompleks soni i harfi orqali belgilash va uni mavhum bir deb atash qabul qilingan. i² + 1 = 0 bo’lishini ko’rsatish qiyin emas, ya’ni i soni x² + 1 = 0 tenglamaning ildizi bo’ladi.
Har qanday z kompleks sonni a + bi algebraik shaklda yozish mumkin. Agar z = a + bi bo’lsa, a son z kompleks sonning haqiqiy qismi dyiladi va Re z orqali belgilanadi, b son esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im z orqali belgilanadi. z = a - bi kompleks son, z = a + bi kompleks sonning kompleks qo’shmasi deyiladi.
Agar a = c, b = d bo’lsa a + bi va c + di kompleks sonlar teng deyiladi.
Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagi tengliklar yordamida aniqlanadi:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i,
(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i,
(c+di ¹ 0, ya’ni s²+d² ¹ 0).
Boshqacha aytganda, agar i² = -1 ekanligini hisobga olinsa, kompleks sonlar ustida barcha arifmetik amallar haqiqiy sonlar ustidagi xuddi shunday amalar kabi bajaradi.
Agar kompleks sonlarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’linmasidagi barcha sonlarni ularning kompleks-qo’shmasiga almashtirilsa, natija ham o’zining qo’shmasiga almashadi:
, , ,
Kompleks sonni darajaga ko’tarish amali quyidagicha aniqlanadi:
.
Agar z ¹ 0 bo’lsa: deb qabul qilinadi.
Kompleks sonning butun ko’rsatkichli darajasi quyidagi xossalarga ega:

Kompleks son z ning n-darajali ildizi deb shunday kompleks songa aytiladiki, .
1-m i s o l. Quyidagi tenglamadan x va y haqiqiy sonlarni toping:
( 5 x – 3 y ) + ( x – 2 y ) I = 6 + ( 8 – x + y ) i.
Yechish. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib,

sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz: . ■
2-m i s o l. i ning darajalarini toping.
Yechish. Ta’rifga ko’ra i⁰ = 1, i¹ = i va i² = -1. Shuning uchun
i ³ = i²i = -i, i⁴ = i³ i = 1, i⁵ = i⁴×i = i.
Umuman olganda: i⁴ⁿ = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i, i⁴ⁿ⁺² = -1, i⁴ⁿ⁺³ = - i, nÎN. ■
3-m i s o l. Darajaga ko’taring: (1+ i)²⁰, (1- i)²¹.
Yechish. Bu masalani Nyuton binomi formulasidan foydalanib hal qilsa bo’ladi, lekin uni quyidagicha yozish qulayroq:
(1+ i)² = 2i, (1- i)² = -2i. U holda

■
Kompleks koeffisiyentli istagan kvadrat tenglamani yechish uchun, avvalo kompleks sonning kvadrat ildizini topa olish kerak. Ta’rifga ko’ra x+yi son a+bi sonning kvadrat ildizi bo’lishi:
(x + yi)² = a + bi (*)
tenglikning bajarilishiga teng kuchli.
(*) tenglik quyidagi formulalar yordamida topiladigan ikkita har xil yechimlarga ega bo’ladi:
,
bu yerda radikal arifmetik ildizni bildiradi, agar b> 0 bo’lsa, x va y larning ishoralari bir xil qilib, b < 0 bo’lganda esa har xil qilib tanlanadi.
4-m i s o l. ildizning qiymatlari 5 - i va -5 + i bo’ladi.■
Kvadrat ildizni to’g’ridan to’g’ri topish ham mumkin.
5-m i s o l. Ildizdan chiqaring:
Yechish. bo’lsin. Ildizning ta’rifiga ko’ra
(x + yi)² = 5 + 12i yoki (x² - y²) + 2 x y i = 5 + 12i,
bundan

sistemani hosil qilamiz.
Bu sistemadagi ikala tenglikni kvadratga ko’tarib va ularni qo’shib, (x² + y²)² = 25 + 144 va x² + y² = 13 larni hosil qilamiz.
U holda sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz:
x = ±3, y = ±2.
Oldingi sistemaning ikkinchi tenglamasidan x va y larning bir xil ishorali bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun x₁ = 3, y₁ = 2; x₂ =-3,
y₂ =-2. Shunday qilib, ildiz ikkita 3 + 2i va -3 - 2i qiymatlarga ega.■
Endi kompleks sonning kvadrat ildizini topishni bilgan holda aynan maktab matematika kursidekdagi kompleks koeffisiyentli
ax² + bx + c = 0
tenglamaning ildizlari

formula yordamida topilishini ko’rsatish mumkin.
6-m i s o l. (3 - i)x² - 2(2 - 3i)x - 4i = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x₁ = 0,4 - 0,8i va x₂ = 0,2 - 1,4i sonlardan iborat. ■

7-m i s o l. Sistemani yeching:

.
Yechish. Sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini
(1-i) ga, ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini esa (1 + i) ga ko’paytirib


ni hosil qilamiz.
Bu tenglamalarni qo’shib, 4z₁ = 4i ga kelamiz. Bundan z₁= i.
Birinchi tenglamadan ikkalasini ayirib - 4 z₂ i = 4 - 4i ni hosil qilamiz. Bundan .■
8-m i s o l. a ning qanday haqiqiy qiymatlarida
4i⁴ - 3ai³ + (2 - a)i - 5 + a
son haqiqiy bo’ladi?
Yechish. i⁴ = 1, i³ = -i bo’lganligi sababli
.
Shuning uchun 2a+2=0 bo’lganda bu son haqiqiy bo’ladi, ya’ni a = -1. ■
9-m i s o l. tenglamani yeching.
Yechish. z = x + yi bo’lsin. U holda x² + y² + 2x - 2yi = 3 + 2i. Haqiqiy va mavhum qismlarini tenglashtirib

sistemani hosil qilamiz. Bundan . Natijada,
. ■