2-mavzu. Matematik va unda elektron hisoblash mashinalarining oʻrni modellashtirish

2-mavzu. Matematik va unda elektron hisoblash mashinalarining oʻrni. modellashtirish
Ilmiy bilimlarni matematikalashtirish, yani matematik tushunchalarni tabiiy va gumanitar ilmlarda qoʻllash hozirgi zamon ilmlarini eng asosiy sohalarini biri hisoblanadi. Koʻp hollarda u yoki bu ilmni yutuqlari matematik usullarini foydalanish darajasi asosida aniqlanadi. Bu “Holagan bilimda qansha matematika boʻlsa, u holda shunsha ilim boʻladi” degan aforizmni mohiyati ekanligi. Turli ilm-fanlarda matematikalashtirish har xil darajada bo’ladi. Matematikalashtirish darajisini u yerda qanday matematik modelning qo’llanilganligiga va qanchalik keng xamirap olinganligiga qarab aniqlasa bo’ladi. Masalan, mexanikada matematikaning qoʻllanilishi yakka qolqiqli tenglamalar tizimining qoʻllanilishiga asoslanadi. Bunday matematik modellar mexanikaning ko’plab bo’limlarinda ushrab turadi, masalan, egiluvchanlik nazariyasida, gidroaerodinamikada v. b. Ayniqsa matematikalashtirish fizikada keng tatbiq qilinadi. Keyingi vaqtlarda matematikalashtirish kimyoda, biologiyada v. b. Fanlarda ham keng qoʻllanilmoqda. Masalan, kimyoviy kinetika oddiy differencialli tenglamalar tizimiga asoslansa, u kimyoviy gidrodinamika yakka qoldiqli tenglamalarga asoslanadi.
Keyingi vaqtlarda matematik g’oyalarning iqtisodiyotda, tarixta va boshqada gumanitar ilm-fanlarda keng qoʻllanilishini guvohi boʻlmoqdamiz. Demak matematikalashtirish jarayoni mexanikaning va fizikaning matematikalashtirilayotgan tuplangan keng tajribalar asosida ro’yobga oshirılmaqta. Matematikaning kimyoda va biologiyada qoʻllanilishi asosan rivojlangan a’lo darajadagi matematik apparatning ishlab chiqarilganligi dir. Ayniqsa bu asosan so’nggi vaqtlarda matematika darajasida rivojlanayotganligini manbai dir. Shuni ham aytish oʻtish joizki, eksperimental va nazariylik izlanishlarsiz faqatgina matematik usullardan foydalanib olg’a ilgarilash mumkin emas.
Elektron hisoblash mashinalari bizning xayotimizning asosiy unsurlarining biriga aylanmaqda, sababi bugungi kunda odam hayotinida elektron hisoblash mashinalarining qollanilmaydigan sohasi qolmadi. Xozirgi kunda elektron hisoblash mashinalari yangi mashinalarni yaratishda va ularni izlanishda yangi texnologik jarayonlardi boshqarishda va ularning optimal variantlarini ishlab chiqishda, iqtisodiy masalalarni yechishda, har xil darajadagi hosilotti planlashtirishda va boshqarishda keng qollanılmaqta. Shu jumladan raketa texnikasidagi, aviaciya qurilishidagi, kema qurish sohasindagi, g'oyat yirik ob'ektlarni qurish va ularni boshqarish elektron hisoblash mashinalarisiz bugungi kunda mumkin emas.
Taqribiy masalalarni yechishda elektron hisoblash mashinalarini tatbiq uchun eng dastlab taqribiy masala shakli turida matematik tilga o'tkazilishi zurur, ya'ni haqiqiy ob'ekt, jarayonning yoki tizimning matematik modeli tashkil etilishi zurur.
«Model'» lafzi lotincha «modus» (kopiya, ko'rinish, siymo ) so'zidan kelib chiqqan. U, modellashtirish deganimiz, bu bazıbir A ob'ekting va shu asnodadir B ob'ekti bilan almashtirish dir. Modellashtirishning asosiy maqsadi, bu ob'ektning ichki jarayonini va tashqi muhit bilan o'zaro harakati haqidagi axborotlarni olish, ishlov berish va ularni turmushta tatbiq qilish.
Modellashtirish odam umrining har xil sohalarida keng tatbiq qilinadi, ayniqsa loyihalashtirish va boshqarish sohalarida, sababi bu sohalarda olingan axborotlarga asoslanib effektiv yechimlar qabul qilish g'oyat ahamiyatli masala hisoblanadi.
Model hamisha maʼlum bitta maqsadga asoslanib tuziladi. Bunda qaysi harakatlarni ko'proq qamtısh zurur, u biriktirishi kerak. Modelni ob'ektiv haqiqatlikning proekciyasi deb qaralsa ham maqsadga muvofiq boʻladi.
Barcha masalalarni ikki katta klassga boʻlsa boʻldi.
1.Haqiqiy, 2. Ideal.
Oʻz navbatida haqiyqiy modelni quyidagicha boʻlish mumkin:

1. 
   Narsa,
   
2. 
   Fizik,
   
3. 
   Matematik.
   

Ideal modelni ham quyidagicha boʻlish mumkin:

1. 
   Aniq (shaffof),
   
2. 
   Belgili,
   
3. 
   Matematik.
   

Haqiqiy zatlik modellar – bu ilmiy, texnik va sanoat eksperimentlar oʻtkazilayotgan haqiyqiy obiektlar, processlar va sistemalar hisoblanadi. Haqiqiy fizik model-bu kinematik, dinamik gidroblik v.b. yangidan barpo qilinib shiqariluvchi fizik hususiyatlarining maketi hisoblanadi. Haqiqiy matematik model – bu onaloglı, tuzilmali, geometrik, grafikalik, sonlik va kibernetikalıq modellar dir. Ideal yaqqol modellar – bu sxemalar, xaritalar, chizmalar, grafiklar, graflar, tuzilmalik va geometrik modellar. Ideal belgili modellar – bu belgilar, alfavitlar, dasturlash tillari, tartiblangan yozuvlar, tupologiyalıq jızıwlar h.t.b.
Ideal matematik modellar – bu onalitikalıq, funkcionallıq, imitaciyalıq (sun’iy ) úylestirilgen modellar dir. Yuqoridagi bu keltiritgan tasniflardagi ayirim modellar ikkita turli mohiyattide berishi mumkin. Masalan, onaloglı. Xolos zotlik modeldan boshqa borlik modellardi bitta sinfqa yig’ishtirmoq mumkin – ixtiro qilishchi model deb.
Endi biz eng universal modellashtirish safiga kiruvchi matematik modellashtirishdi qaraymiz. Bu model modellestirilip etilayotgan fizik jarayonke bazıbir matematik nisbatiqlar tizimini mos qo’ylaradi.
Haqiqiy matematik model - bu onaloglı, tuzilmali, geometrik, grafikalik, sonlik va kibernetikalıq modellar dir.
Ideal yaqqol modellar - bu sxemalar, xaritalar, chizmalar, grafiklar, graflar, tuzilmalik va geometrik modellar.
Ideal belgili modellar - bu belgilar, alfavitlar, dasturlash tillari, tartiblangan yozuvlar, tupologiyalıq jızıwlar h. t. b.
Ideal matematik modellar - bu onalitikalıq, funkcionallıq, imitaciyalıq (sun'iy ) úylestirilgen modellar dir. Yuqoridagi bu keltiritgan tasniflardagi ayirim modellar ikkita turli mohiyattide berishi mumkin. Masalan, onaloglı. Xolos zotlik modeldan boshqa borlik modellardi bitta sinfqa yig'ishtirmoq mumkin - ixtiro qilishchi model deb.
Endi biz eng universal modellashtirish safiga kiruvchi matematik modellashtirishdi qaraymiz. Bu model modellestirilip etilayotgan fizik jarayonke bazıbir matematik nisbatiqlar tizimini mos qo'ylaradi. Ol bu matematik nisbatiqlar tizimining yechimi o'zlar navbatida fizik modeldi qurmastan-oq o'sha ob'ekt haqida matumotlar beradi. Fizik modeldi qurish g'oyat qimmatqa tushadigan bo'lmishliktan va effektiv bo'lmaganliktan, matematik modellashtirish g'oyat muxim jarayonlarding biri dir.
Matematik model - bu real ob'ektti, jarayonti yoki tizimni elektron hisoblash mashinalarinda eksperimental izlanishlar yuritishlikga qulayli matematik modellar bilan almashtirish dir.
Taqribiy masalalarni yechishda elektron hisoblash mashinalarini foydalanish uchun bu masala eng dastlap shakll matematik tilga o'zgartirilishi (almashtirilishi ) zurur, ya'ni real ob'ektke, jarayonke yoki tizimga oniń matematik modeli tashkil etilishi zurur.
Matematik model' sonlik tarzida bazı-bitta mantiqlikmatematikalıq konstrukciya yordamida ob'ektning, jarayonning yoki tizimning asosiy xususiyatlarin, oniń parametrlarini, ichki va sirtqi aloqalarini aniqlaydi.
Matematik modellardi qurish uchun quyidagilarni bajarish zarur :
1. Real ob'ekt yoki jarayon teran tahlillanishi shart ;
2. Oniń eng asosiy yechimi va xususiyatlari ayirib olinishi zurur ;
3. Asosiy o'zgaruvchilardi, ya'ni parametrlarni aniqlash, buni bilishlik eng asosiy yechim va hususiyatlarga ta'sirini tiygizedi;
4. Ob'ektlarning, jarayonlarding yoki sistemalarniń asosiy xususiyatlarining o'zgaruvchilarding ma'nosiga aloqasin mantiqlikmatematikalıq nisbatiqlar yordamida yozuv (bu tenglama, tenglik, tensizlik, mantiqlik -matematik konstrukciyalar);
5. Ob'ektlarning, jarayonlarding yoki sistemalarniń ichki aloqalarini bazı-bitta chegaralanuv, tenglama, tenglik, tengsizlik, mantiqlik -matematik konstrukciyalar qirg'oqlari ayirib olish ;
6. Sirtqi aloqalarni aniqlash va ularni bazı-bitta chegaralanuv, tenglama, tenglik, tengsizlik, mantiqlik -matematik konstrukciyalar yordamida ko'rsatish ;
Matematik modellashtirish, ushbu ob'ektlarni, jarayonlardi yoki sistemalarni izlanishlardan va uning matematik modellarini tuzishdan boshqa va shu asnoda quyidagilarni qamrab oladi :
1. Ob'ektding, processtiń yamasa sistemanıń qásiyeti
modellashtirishlik algoritmlarni tuzish ;
2. Hisoblash va natural eksperiment asosida modelding va ob'ektning, jarayonning yoki tizimning adekvatligini (to'g'ri
keladiganligini ) tekshirish ;
3. Modeldi tuzatish ;
4. Modeldi tatbiq.
Izertlenip etilayotgan jarayonning yoki ob'ektning matematik yozilishi quyidagilardan qaram bo'ladi :
1. Haqıyqıy jarayonning yoki tizimning biror kishiga yaqin odamlartidan va ular fizikanıń, ximiyanıń, mexanikanıń, termodinamikanıń, gidrodinamikanıń, elektrotexnikanıń, egiluvchilik nazariyasinıń h. t. b. qonunlari asosida tuziladi.
2. Haqıyqıy jarayonlardi va sistemalarni izlanishding haqiqiy va bamisolilik talablaridan.
Matematik modeldi saylap olishda quyidagilar o'rnatiladi : ob'ektning, jarayonning yoki tizimning chiziqli yoki nochiziqligi, dinamik yoki statik bo'lishi, stacionar yoki stacionar emasligi h. t. b. matematik modellashtirishda ob'ektning, jarayonning yoki tizimning haqiqiy fizik biror kishiga yaqin odamlartidan belgili darajada yoki o'ylarga siyohrlıq darajada ovloq joyletiledi va asosan ushbu jarayonlardi aniqlovchi taxminlarding o'zaro sonli nisbatiqlarına ko'proq e'tibor beriladi.
Matematik model' hech vaqtda qaralmoqdagan ob'ektke, jarayonke yoki tizimga toliq teng bo'lmaydi. Ko'plab soddalashtirishlar, ideallastırıwlar sababdan, u berilgan ob'ektti yovuq aniqlaydi. Binobarin, matematik modeldi tahlillash qirg'oqlari olingan yakunlar yovuq xarakterda bo'ladi.
Odatte matematik modeldi tuzish, qurilayotgan ob'ektning, jarayonning yoki tizimning eng oddiy xulq-atvori matematik modelin tuzishdan va tahlillashdan boshlanadi.
Bundan so'ng, agarda zurur bo'lsa, model takroriy ko'rib chiqiladi va u toliqtiriladi. Bu etap usulayınsha bitta -chicha martaba qaytib kelishi mumkin.
Taqribiy masalalarning matematik modelin tuzish, bu eng kerakli va mas'uliyatli ishlarniń biri dir. Tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'pliklarda modellardi durust tanlov, bu masalaniń yarmidan kóbi hal qilindi degan so'zni bildiradi. Bu etaptıń qiyinshılıgi shundan iborat, bunda matematik va maxsus bilimlarni biriktirishga tug'ra keladi. Sababi, xolos matematik bilimlar jetkiliksiz bo'ladi, binobarin ilm-fanpaz fizikanı, mexanikani, yoki texnikani, xullas izertlenip etilayotgan ob'ekt, jarayon yoki tizim qaysi sohadan bo'lsa, u ushbu sohadan yetarli bilimga ega bo'lishi shart. Bunga qo'shimcha u elektron hisoblash mashinalarinda yumush ishlab bilishliki va dasturlash kabi bilimlarni da teran o'zlashtirgan bo'lishi zurur.
Komp'yuterde modellashtirish. Elektron hisoblaӯ mashinalarining paydo bo'lıӯı va eshalaӯ matematikasi toraӯındagi yutuqlar matematik modellestiriӯdiń imkoniyatlarin orttirdi. Bu yutuqlar muqaddam ko'rilmagan darajadagi ilmiy -texnik masalalarni sheshiӯ imkoniyatin berdi. Misol sifatida xozirgi ӯaqıttagi koinot fazosin izertleӯ bo'yicha olib borilayotgan ko'plab loyihalar, yer osti boyliklarini izertleӯdiń yangi usullari, energetika toraӯındagi yutuqlar, ekologik problemalardıń izertleniӯi, geo va astrofizikalıq ubılıslardıń izertleniӯi, yangi texnologik jarayonlar asosida yangi materiallarding paydo bo'lıӯı h. t. b.
Ilmiy izlanishlarding yangi usullarinıń biri, bu komp'yuterde modellashtirish dir. Komp'yuterde modellashtirish asosan quyidagilarga asoslanadi :
1. Izertlenip etilayotgan jarayonning matematik modelin tuzish ;
2. G'oyat yoqarı tezlikke ega ( soniyasina millionlagan rioya o'rinlay oladigan ) va odam bilan dialogqa kire oladigan yangi tiptegi elektron hisoblash mashinalarinan foydalanish ;
Komp'yuterde modellashtirishding asosiy mohiyati deganimiz, bu matematik model asosida elektron hisoblash mashinasi yordamida har -xil eksperimentler seriyasın yuritishlik qirg'oqlari ob'ektning yoki jarayonning xususiyatlarin izlanish, oniń yumush ishlash rejimini va optimal parametrlarini topish, modeldi reallashtirish dir.
Masalan, bazı-bitta jarayonning ro'yobining matematik modelin bile o'tırıp (bazı-bitta tenglamani ), oniń koefficientlerin, boshlang'ich va chegaralik shartlarini o'zgarte o'tırıp o'sha ob'ektning yoki jarayonning o'zini qalay olib borarlikligini izlanishga bo'ladi. Bunga qo'shimcha oldin -ola har -xil hollarda ushbu ob'ektning xususiyatlari haqida fikr yuritishlikga bo'ladi.
Sonli eksperimenttiń va shu asnoda bitta ixchamlılıgi, u g'oyat qimmatqa tushadigan natural eksperimentti elektron hisoblash mashinasinda hisoblashlar yuritishlik bilan almashtiradi. U oz wıqıt ichida kam sarmoyasi bilan g'oyat ko'p sondagi eksperimentlerdi yuritishlikga imkoniyat tug'diradi. Buniń o'zi murakkab sistemalarni takroriy ishlab tez orada ishlab chiqarishga chiqarish imkoniyatin beradi.
Komp'yuterde modellashtirish va sonli eksperiment yangi ilmiy izlanish usuli sifatida matematik modellardi tuzishda matematik qurilmasi yangilashga iytermeleydi. Sonli eksperimentlerdi yuritishlik uchun eng dolzarb, perspektiv sohalar, bu g'oyat yirik ilmiy texnik va ijtimoiy -iqtisodiy muammolar dir. Masalan, otom elektrostanciyası uchun reaktorlardı loyihalashtirish, plotina va gidroelektrostanciyalardı loyihalashtirish, mamlakatlik, mintaqaallıq va sohalarding perspektiv rivojlanish planlarin tuzish h. t. b.
Ayirim hollarda natural eksperiment ɵtkeriw imkoniyati bo'lmaydi, masalan, termoyadrolıq sintez, koinotlik fazolikti izlanish, ayirim kimyoviy ɵndiristi izlanish va loyihalashtirish h. t. b. Bu eksperimentlerdi o'tkazish odam dan -sog'lomligiga va hayotinie xavfli. Bu holatda bizga yordam berishchi yolg'iz vosita, bu hisoblash eksperimenti dir.
Yakunlab aytganda, komp'yuterde modellashtirish va sonli eksperiment matematik emas izlanishlardi matematik masalalarni (matematik modeldi) hal etishga olib keladi. Bu qirg'oqlari yaxshi o'ylab topilgan matematik apparat va kuchli hisoblash texnikasi jo'rligidalikte jarayonti izlanishding yangi usullarini paydo qiladi.
Solay etib, biz qaramoqdagan ob'ektning, jarayonning yoki tizimning matematik modelin (matematik masalani ) dala-dashtdik, ya'ni taqribiy masalani matematik masalaga aylandirdıq. Bundan soń bu taqribiy masalani yechishding keyingi ikkinchi etapı paydo bo'ladı. Bu deganimiz, oddiy bo'lgan matematik masalani yechishding usullarini izlash yoki ixtiro qilish dir. Bu izlamoqdagan usullarimiz elektron hisoblash mashinasinda realizaciyalaw uchun qulayli bo'lishi shart. Hozirgi vaqtda matematik masalalarni yechishding usullarini asosiy ikkita guruhga bo'lishga bo'ladi :
1. Masalani yechishding bamisoli usullari ;
2. Masalani yechishding sonli usullari.
Foydalanilgan adabiyotlar

1. Самарский А. А. Введение в численные методы. Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., стер. – СПб.: Изд. «Лань», 2005. – 288 с.

2. 
   Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. – М.: Едиториал УРСС, 2004. -248 с.
   
3. 
   Самарский А.А., Вабищевич П.Н.Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал УРСС, 2003. -782 с.
   
4. 
   Самарский А. А., Михайлов А.П.. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. -320 с.