21. Kombinatorika a její užití, řešení rovnic s kombinačními čísly, binomická věta
Co je kombinatorika? Která hlediska uplatňujeme při tvorbě skupin ? Charakterizujte variace, permutace a kombinace a uveďte vzorce pro jejich výpočet. Definujte n!
Kombinatorika – variace, permutace, kombinace a jejich užití
Kombinatorika se zabývá tvořením skupin po k-prvcích z množiny, která obsahuje n – prvků podle dalších hledisek :
-
na pořadí prvků záleží – skupiny se nazývají variace – označujeme Vk( n ) – čti
variace k – té třídy vytvořené z množiny, která obsahuje
n – prvků nebo permutace –označujeme P(n) - čti
permutace z n – prvků
nezáleží- skupiny se nazývají kombinace – označujeme Ck( n) – čti
kombinace k-té třídy vytvoření z množiny, která obsahuje
n-prvků
-
prvky se ve skupině – vyskytují nejvýš jednou – viz označení výše uvedených skupin
Vk ( n ) , P ( n ) , Ck ( n )
mohou se opakovat – variace s opakováním prvků
označujeme V´k ( n ) , kombinace s opakováním prvků C´k (n)
V kombinatorice zavádíme výraz n ! – čti n faktoriál a vypočteme
n ! = n . ( n-1) . ( n-2) . ( n-3) ........3.2.1
na příklad : 5! = 5.4.3.2.1 = 720 , 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3628800
Příklady - VARIACE
-
Na hokejovém mistrovství hraje ve finále 6 mužstev. Určete počet způsobů, jimiž se zúčastněná družstva mohou rozdělit o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili.
Řešení : záleží na pořadí prvků – druhu medaile – jde o variace třetí třídy k=3(3 druhy
medailí ze šesti prvků – n = 6 ( 6 družstev )
V3 ( 6 ) = 6 . 5 .4 = 120 možností
2) Výbor tělovýchovné jednoty tvoří 8 lidí. Určete. kolika způsoby lze z nich vybrat předsedu, místopředsedu , jednatele a hospodáře .
Řešení : záleží na pořadí prvků .... jde o variace 4-té třídy – k =4 ( počet funkcí ) –
n = 8 .. počet členů výboru
V4 ( 8 ) = 8 . 7 . 6 . 5 = 1680 možností
3) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou každé dvě cifry různé .
Řešení : Každé čtyřciferné číslo lze považovat za čtveřici sestavenou z cifer 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .........jde o V4 ( 10 ) = 10 . 9 .8 . 7 = 5040 čísel
Z tohoto počtu musíme odečíst všechny variace s nulou na prvním místě ,
t.j. V3(9)= 9 . 8 . 7 = 504
Čtyřciferných čísel požadované vlastnosti je celkem 5040 – 504 = 4536
4) Určete počet všech trojciferných čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry
3, 4, 5 ,6, 7 a to každá nejvýš jednou .
Řešení : Trojciferná čísla menší než 500 mohou sestavená z daných číslic mohou začínat pouze cifrou 3 nebo 4 , t.j. na dalších místech jsou pouze 2 cifry,t.j. jedná se o variace druhé třídy sestavené ze zbývajících prvků , t.j. pro čísla začínající cifrou 3 ...V2( 4 ) = 4.3 = 12 a stejný počet je pro čísla začínající cifrou 4 .... V2 ( 4 ) = 12 , t.j. celkem 2 . 12 = 24
Cvičení :
1) Výbor tělovýchovné jednoty tvoří 10 lidí. Určete, kolika způsoby lze z nich vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře ? ( 5040 )
2)Na hokejovém mistrovství hraje ve finále osm mužstev. Určete počet způsobů, jimiž se zúčastněná družstva mohou rozdělit o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili . ( 336 )
3) Kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , jestliže se žádná číslice nemá opakovat ? ( 720 )
4) Kolik trojciferných čísel větších než 400 lze vytvořit z číslic 1, 3, 5, 7, 9 , jestliže se žádná číslice nemá opakovat ? ( 36 )
5) Kolik čtyřciferných čísel menších než 5000 lze vytvořit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, jestliže se žádná číslice nemá opakovat ? ( 480 )
6)K sestavení vlajky skládající se ze tří různobarevných vodorovných pruhů jsou k dispozici látky těchto barev : červená, žlutá, modrá , zelená a bílá. Určete, kolik vlajek lze z těchto látek sestavit ? ( 60 )
PERMUTACE
Permutace vzniknou záměnou pořadí prvků
P ( n ) = n !
Příklad :
-
Na poličku chceme postavit do řady vedle sebe 15 knih. Kolika způsoby je můžeme seřadit?
P ( 15 ) = 15 ! = 1307674368000
-
Určete počet trojciferných čísel, které můžeme sestavit z číslic 3,5,7 , jestliže se číslice
nemají opakovat !
P ( 3 ) = 3! = 3.2.1 = 6
Cvičení :
1) Určete počet všech pěticiferných čísel , které lze sestavit z lichých číslic desítkové soustav, jestliže se číslice nemají opakovat . ( 120)
2) Kolika způsoby lze rozmíchat 32 karet ? ( 2,631308369 . 1035 )
Variace s opakováním prvků Vk ( n ) = nk
Příklad :
-
Určete počet všech trojciferných přirozených čísel sestavených pouze z cifer 1,2,3,4,5.
Řešení : jedná se o počet všech variací třetí třídy ( trojciferná čísla) s opakováním (není tam omezení, že každá číslice se vyskytuje pouze jednou ) z pěti prvků ( počet daných číslic)
-
Tipujete výsledky 13 zápasů – zda vyhrají domácí, hosté či skončí nerozhodně . Určete, kolik je všech možných tipů.
Řešení : n= 3 .....( 0,1,2 ) , k= 13 zápasů ......... jedná se o V13(3) = 313 = 1594423
-
Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze vytvořit pomocí nejvýše čtyřprvkových skupin složených z teček a čárek .
Řešení : jedná se o součet variací s opakováním ze dvou prvků a to :
V1 ( 2 ) + V2 ( 2 ) + V3 ( 2 ) + V4 ( 2 ) = 21 + 22 + 23 + 24 = 2+4+8+16=30
4¨) Kolik dvojciferných čísel lze utvořit z číslic 1,2,3,4 ?
Řešení : jedná se o variace druhé třídy s opakováním prvků utvořené ze čtyř prvků
V2 ( 4 ) = 42 = 16
Kombinace k-té třídy z n-prvků
je každá k- prvková podmnožina množiny určené těmito prvky
Příklady :
-
Ve třídě je 30 žáků , z nichž je třeba vybrat trojici žáků na literární soutěž .Kolika způsoby je možno tuto trojici vybrat ?
Řešení : Jedná se o kombinace 3.třídy ( trojice ) ze 30 prvků, t.j.C
Cvičení :
-
Basketbalové družstvo tvoří pět hráčů. Určete, kolik možností má trenér pro sestavení družstva,má-li k dispozici 12 hráčů? ( C5(12)= 792 )
-
Určete, kolik kružnic je určeno deseti body, jestliže zádné tři neleží na jedné přímce a žádné čtyři na jedné kružnici ? ( C2(10)= 120)
-
Kolika způsoby je možno vybrat tříčlenné hlídky z pěti vojáků? ( C3(5)=10 )
-
Kolika způsoby můžeme z 15 ti žáků vybrat šestičlennou delegaci ? ( C6(15)= 5005 )
-
Kolik kružnic je určeno patnácti body, jestliže sedm bodů leží na jedné kružnici a ostatní jsou obecně položené ? ( C3( 15 ) – C3( 7) + l = 421 )
-
Kolik přímek je určeno 11 body, jestliže pět bodů leží na jedné přímce a žádné další na jedné přímce neleží ? ( C2( 11 ) – C2 ( 5 ) + 1 = 46
-
Ve třídě je 19 chlapců a 11 dívek. Kolika způsoby lze z nich vybrat tříčlennou skupinu, v níž jsou a) pouze chlapci , b) pouze dívky , c) dva chlapci a jedna dívka
( a) C3(19) =969 b) C3(11) = 165 c) C2(19) . C1(11) = 1881 )
-
Hokejové mužstvo má 20 hráčů a to 13 útočníků, 5 obránců a 2 brankáře. Kolik různých
Kolik různých sestav by mohl trenér vytvořit,jestliže sestava má mít 3 útočníky, 2 obránce a 1 brankáře ? ( C3( 13) . C2 ( 5) . C1 ( 2 ) = 5720 )
9) Kolik je možných tipů ve Sportce ( tipujeme –li šest čísel ze 49 ) ? ( C6(49) = 13983816)
10)Kolik je možných tipů ve Sportce, tipujeme-li jako jedno z čísel číslo 8 ?
Kombinatorika - souhrnná cvičení:
-
Na hokejovém mistrovství hraje ve finále osm mužstev. Určete počet způsobů, jimiž se zúčastněná družstva mohou rozdělit o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili ? ( 336 )
-
Výbor tělovýchovné jednoty tvoří 10 lidí. Určete, kolika způsoby lze z nich vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře? ( 5040 )
-
Určete počet všech čtyřciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou
a) každé dvě číslice různé ( 4 536 )
b) číslice se mohou opakovat ( 9 000 )
4) Kolik čtyřciferných čísel menších než 4000 lze sestavit z číslic 1,2,3,4,5,6,7,8 ?
( Uvažujte obě možnosti ) ( 630 nebo 1536 )
-
Kolik trojciferných čísel větších než 300 lze sestavit z číslic 1,2,3,4,5,6,7 ?
( Uvažujte obě možnosti ) ( 150 nebo 245 )
6) V rovině je dáno 10 bodů, z nichž šest leží na jedné kružnici. Kolik kružnic je jimi určeno? (101)
7) Je dáno 12 bodů v prostoru, z nichž 4 leží v jedné rovině. Kolik rovin je jimi určeno ? (217)
8) Kolik přímek je určeno jedenácti body , jestliže sedm bodů leží v jedné přímce ? ( 35)
9) Ve třídě je 29 žáků, z toho 11 dívek. Kolika způsoby lze vytvořit pětičlennou delegaci, ve
mají být 3 chlapci a 2 dívky ? ( 44880)
10) Vyučující matematiky má připraveno 17 příkladů z aritmetiky a 15 příkladů z geometrie.
Kolika způsoby může sestavit písemnou práci, ve které mají být 5 příkladů a to 3 z aritmetiky
a dva z geometrie ? ( 71400)
11) Hokejové družstvo má 20 hráčů a to 12 útočníků, 6 obránců a 2 brankáře. Kolik různých sestav
by mohl trenér vytvořit, jestliže sestava má mít 3 útočníky, 2 obránce a 1brankáře ? ( 6 600)
12)Kolik hráčů se zúčastnilo šachového turnaje, když bylo odehráno 28 partií a hráči hráli každý
s každým? ( 8 )
13) Kolik družstev se zúčastnilo volejbalového turnaje, jestliže každé družstvo hrálo každý s každým a
Celkem bylo sehráno 15 utkání ? ( 6)
Rovnice s kombinačními čísly.
Řešte rovnice:
Příklad:
Řešte v N:
Po krácení zlomku a úpravě dostaneme kvadratickou rovnici x2 – 6 x - 7 =0 s kořeny x1= 7 , x2= - 1. Protože výraz n! je definován pouze pro celá nezáporná čísla, vyhovuje x, t.j kořen x=7
1) ( x=3) 2) ( x = 4 ) 3) ( n=8 ) 4) ( x = 5 )
Proveďte rozvoj mocniny :
Příklad:
Proveďte rozvoj mocniny
+
=
=
1) 2) 3)
4) 5) 6)
Určete n-tý člen rozvoje výrazu:
1) pátý 2) sedmý 3) jedenáctý
1)Řešení: 2)
3)
Dostları ilə paylaş: |