21. Kombinatorika a její užití, řešení rovnic s kombinačními čísly, binomická věta

21. Kombinatorika a její užití, řešení rovnic s kombinačními čísly, binomická věta

Co je kombinatorika? Která hlediska uplatňujeme při tvorbě skupin ? Charakterizujte variace, permutace a kombinace a uveďte vzorce pro jejich výpočet. Definujte n!

Kombinatorika – variace, permutace, kombinace a jejich užití
Kombinatorika se zabývá tvořením skupin po k-prvcích z množiny, která obsahuje n – prvků podle dalších hledisek :

1. 
   na pořadí prvků záleží – skupiny se nazývají variace – označujeme V_k( n ) – čti
   

variace k – té třídy vytvořené z množiny, která obsahuje

n – prvků nebo permutace –označujeme P(n) - čti

permutace z n – prvků

nezáleží- skupiny se nazývají kombinace – označujeme C_k( n) – čti

kombinace k-té třídy vytvoření z množiny, která obsahuje

n-prvků

2. 
   prvky se ve skupině – vyskytují nejvýš jednou – viz označení výše uvedených skupin
   

V_k ( n ) , P ( n ) , C_k ( n )

mohou se opakovat – variace s opakováním prvků

označujeme V^´_k ( n ) , kombinace s opakováním prvků C´_k (n)

V kombinatorice zavádíme výraz n ! – čti n faktoriál a vypočteme

n ! = n . ( n-1) . ( n-2) . ( n-3) ........3.2.1

na příklad : 5! = 5.4.3.2.1 = 720 , 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3628800

Příklady - VARIACE

1. 
   Na hokejovém mistrovství hraje ve finále 6 mužstev. Určete počet způsobů, jimiž se zúčastněná družstva mohou rozdělit o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili.
   

Řešení : záleží na pořadí prvků – druhu medaile – jde o variace třetí třídy k=3(3 druhy

medailí ze šesti prvků – n = 6 ( 6 družstev )

V₃ ( 6 ) = 6 . 5 .4 = 120 možností

2) Výbor tělovýchovné jednoty tvoří 8 lidí. Určete. kolika způsoby lze z nich vybrat předsedu, místopředsedu , jednatele a hospodáře .

Řešení : záleží na pořadí prvků .... jde o variace 4-té třídy – k =4 ( počet funkcí ) –

n = 8 .. počet členů výboru

V₄ ( 8 ) = 8 . 7 . 6 . 5 = 1680 možností

3) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou každé dvě cifry různé .

Řešení : Každé čtyřciferné číslo lze považovat za čtveřici sestavenou z cifer 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .........jde o V₄ ( 10 ) = 10 . 9 .8 . 7 = 5040 čísel

Z tohoto počtu musíme odečíst všechny variace s nulou na prvním místě ,

t.j. V₃(9)= 9 . 8 . 7 = 504

Čtyřciferných čísel požadované vlastnosti je celkem 5040 – 504 = 4536
4) Určete počet všech trojciferných čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry

3, 4, 5 ,6, 7 a to každá nejvýš jednou .

Řešení : Trojciferná čísla menší než 500 mohou sestavená z daných číslic mohou začínat pouze cifrou 3 nebo 4 , t.j. na dalších místech jsou pouze 2 cifry,t.j. jedná se o variace druhé třídy sestavené ze zbývajících prvků , t.j. pro čísla začínající cifrou 3 ...V₂( 4 ) = 4.3 = 12 a stejný počet je pro čísla začínající cifrou 4 .... V₂ ( 4 ) = 12 , t.j. celkem 2 . 12 = 24
Cvičení :

1) Výbor tělovýchovné jednoty tvoří 10 lidí. Určete, kolika způsoby lze z nich vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře ? ( 5040 )

2)Na hokejovém mistrovství hraje ve finále osm mužstev. Určete počet způsobů, jimiž se zúčastněná družstva mohou rozdělit o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili . ( 336 )

3) Kolik čtyřciferných čísel lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , jestliže se žádná číslice nemá opakovat ? ( 720 )

4) Kolik trojciferných čísel větších než 400 lze vytvořit z číslic 1, 3, 5, 7, 9 , jestliže se žádná číslice nemá opakovat ? ( 36 )

5) Kolik čtyřciferných čísel menších než 5000 lze vytvořit z cifer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, jestliže se žádná číslice nemá opakovat ? ( 480 )

6)K sestavení vlajky skládající se ze tří různobarevných vodorovných pruhů jsou k dispozici látky těchto barev : červená, žlutá, modrá , zelená a bílá. Určete, kolik vlajek lze z těchto látek sestavit ? ( 60 )
PERMUTACE

Permutace vzniknou záměnou pořadí prvků

P ( n ) = n !

Příklad :

12. 
    Na poličku chceme postavit do řady vedle sebe 15 knih. Kolika způsoby je můžeme seřadit?
    

P ( 15 ) = 15 ! = 1307674368000

2. 
   Určete počet trojciferných čísel, které můžeme sestavit z číslic 3,5,7 , jestliže se číslice
   

nemají opakovat !

P ( 3 ) = 3! = 3.2.1 = 6

Cvičení :

1) Určete počet všech pěticiferných čísel , které lze sestavit z lichých číslic desítkové soustav, jestliže se číslice nemají opakovat . ( 120)

2) Kolika způsoby lze rozmíchat 32 karet ? ( 2,631308369 . 10³⁵ )

Variace s opakováním prvků V_k ( n ) = n^k

Příklad :

1. 
   Určete počet všech trojciferných přirozených čísel sestavených pouze z cifer 1,2,3,4,5.
   

Řešení : jedná se o počet všech variací třetí třídy ( trojciferná čísla) s opakováním (není tam omezení, že každá číslice se vyskytuje pouze jednou ) z pěti prvků ( počet daných číslic)

2. 
   Tipujete výsledky 13 zápasů – zda vyhrají domácí, hosté či skončí nerozhodně . Určete, kolik je všech možných tipů.
   

Řešení : n= 3 .....( 0,1,2 ) , k= 13 zápasů ......... jedná se o V₁₃(3) = 3¹³ = 1594423

3. 
   Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze vytvořit pomocí nejvýše čtyřprvkových skupin složených z teček a čárek .
   

Řešení : jedná se o součet variací s opakováním ze dvou prvků a to :

V₁ ( 2 ) + V₂ ( 2 ) + V₃ ( 2 ) + V₄ ( 2 ) = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ = 2+4+8+16=30

4¨) Kolik dvojciferných čísel lze utvořit z číslic 1,2,3,4 ?

Řešení : jedná se o variace druhé třídy s opakováním prvků utvořené ze čtyř prvků

V₂ ( 4 ) = 4² = 16
Kombinace k-té třídy z n-prvků

je každá k- prvková podmnožina množiny určené těmito prvky

Příklady :

1. 
   Ve třídě je 30 žáků , z nichž je třeba vybrat trojici žáků na literární soutěž .Kolika způsoby je možno tuto trojici vybrat ?
   

Řešení : Jedná se o kombinace 3.třídy ( trojice ) ze 30 prvků, t.j.C

Cvičení :



1. 
   Basketbalové družstvo tvoří pět hráčů. Určete, kolik možností má trenér pro sestavení družstva,má-li k dispozici 12 hráčů? ( C₅(12)= 792 )
   
2. 
   Určete, kolik kružnic je určeno deseti body, jestliže zádné tři neleží na jedné přímce a žádné čtyři na jedné kružnici ? ( C₂(10)= 120)
   
3. 
   Kolika způsoby je možno vybrat tříčlenné hlídky z pěti vojáků? ( C₃(5)=10 )
   
4. 
   Kolika způsoby můžeme z 15 ti žáků vybrat šestičlennou delegaci ? ( C₆(15)= 5005 )
   
5. 
   Kolik kružnic je určeno patnácti body, jestliže sedm bodů leží na jedné kružnici a ostatní jsou obecně položené ? ( C₃( 15 ) – C₃( 7) + l = 421 )
   
6. 
   Kolik přímek je určeno 11 body, jestliže pět bodů leží na jedné přímce a žádné další na jedné přímce neleží ? ( C₂( 11 ) – C₂ ( 5 ) + 1 = 46
   
7. 
   Ve třídě je 19 chlapců a 11 dívek. Kolika způsoby lze z nich vybrat tříčlennou skupinu, v níž jsou a) pouze chlapci , b) pouze dívky , c) dva chlapci a jedna dívka
   

( a) C₃(19) =969 b) C₃(11) = 165 c) C₂(19) . C₁(11) = 1881 )

8. 
   Hokejové mužstvo má 20 hráčů a to 13 útočníků, 5 obránců a 2 brankáře. Kolik různých
   

Kolik různých sestav by mohl trenér vytvořit,jestliže sestava má mít 3 útočníky, 2 obránce a 1 brankáře ? ( C₃( 13) . C₂ ( 5) . C₁ ( 2 ) = 5720 )

9) Kolik je možných tipů ve Sportce ( tipujeme –li šest čísel ze 49 ) ? ( C₆(49) = 13983816)

10)Kolik je možných tipů ve Sportce, tipujeme-li jako jedno z čísel číslo 8 ?
Kombinatorika - souhrnná cvičení:

1. 
   Na hokejovém mistrovství hraje ve finále osm mužstev. Určete počet způsobů, jimiž se zúčastněná družstva mohou rozdělit o zlatou, stříbrnou a bronzovou medaili ? ( 336 )
   
2. 
   Výbor tělovýchovné jednoty tvoří 10 lidí. Určete, kolika způsoby lze z nich vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře? ( 5040 )
   
3. 
   Určete počet všech čtyřciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu jsou
   

a) každé dvě číslice různé ( 4 536 )

b) číslice se mohou opakovat ( 9 000 )

4) Kolik čtyřciferných čísel menších než 4000 lze sestavit z číslic 1,2,3,4,5,6,7,8 ?

( Uvažujte obě možnosti ) ( 630 nebo 1536 )

5. 
   Kolik trojciferných čísel větších než 300 lze sestavit z číslic 1,2,3,4,5,6,7 ?
   

( Uvažujte obě možnosti ) ( 150 nebo 245 )

6) V rovině je dáno 10 bodů, z nichž šest leží na jedné kružnici. Kolik kružnic je jimi určeno? (101)

7) Je dáno 12 bodů v prostoru, z nichž 4 leží v jedné rovině. Kolik rovin je jimi určeno ? (217)

8) Kolik přímek je určeno jedenácti body , jestliže sedm bodů leží v jedné přímce ? ( 35)

9) Ve třídě je 29 žáků, z toho 11 dívek. Kolika způsoby lze vytvořit pětičlennou delegaci, ve

mají být 3 chlapci a 2 dívky ? ( 44880)

10) Vyučující matematiky má připraveno 17 příkladů z aritmetiky a 15 příkladů z geometrie.

Kolika způsoby může sestavit písemnou práci, ve které mají být 5 příkladů a to 3 z aritmetiky

a dva z geometrie ? ( 71400)

11) Hokejové družstvo má 20 hráčů a to 12 útočníků, 6 obránců a 2 brankáře. Kolik různých sestav

by mohl trenér vytvořit, jestliže sestava má mít 3 útočníky, 2 obránce a 1brankáře ? ( 6 600)

12)Kolik hráčů se zúčastnilo šachového turnaje, když bylo odehráno 28 partií a hráči hráli každý

s  každým? ( 8 )

13) Kolik družstev se zúčastnilo volejbalového turnaje, jestliže každé družstvo hrálo každý s každým a

Celkem bylo sehráno 15 utkání ? ( 6)

Rovnice s kombinačními čísly.

Řešte rovnice:

Příklad:

Řešte v N:

Po krácení zlomku a úpravě dostaneme kvadratickou rovnici x² – 6 x - 7 =0 s kořeny x₁= 7 , x₂= - 1. Protože výraz n! je definován pouze pro celá nezáporná čísla, vyhovuje x, t.j kořen x=7

1) ( x=3) 2) ( x = 4 ) 3) ( n=8 ) 4) ( x = 5 )
Proveďte rozvoj mocniny :

Příklad:

Proveďte rozvoj mocniny

+

=

=
1) 2) 3)

4) 5) 6)

Určete n-tý člen rozvoje výrazu:

1) pátý 2) sedmý 3) jedenáctý

1)Řešení: 2)

3)