4- mustaqil ish topshiriqlari. Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi

4- MUSTAQIL ISH TOPSHIRIQLARI.
Bernulli tenglamasi. To’la differensialli tenglamalar. Integrallovchi ko’paytuvchi.

1. 
   Bernulli tenglamasining berilgan shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
   

(*)
ko’rinishidagi tenglama Bernulli tenglamasi deyiladi. Bernulli tenglamasini odatda ko’rinishda yozib olib, almashtirish yordamida chiziqli tenglamaga keltiriladi: ,
bo’lganda (*) tenglama yechimga ham ega bo’ladi.
Namuna:
Tenglamani yeсhing: (1)
Yeсhish. . Tenglamaning ikkala tomonini ga ko’paytirib, almashtirish bajaramiz:
.
Bu tenglamaning yechimini topish 3-mustaqil ishda ko’rsatib o’tilgan:
Umumiy yechim:
. Demak, ekanligidan .

2. 
   To’liq differensialli tenglamani yeching.
   

Namuna:
To’liq differensialli tenglamani yeching.
◄Bu yerda va va . Shunday qilib, , ya’ni berilgan tenglama to’liq differensialli bo’lib, uning chap tomoni haqiqatan ham qandaydir funksiyaning to’liq differensiali bo’lar ekan.
Izlanayotgan funksiyani topish uchun ushbu , tenglamalardan birinchisini bo’yicha integrallaymiz
.
Topilgan funksiyadan y bo’yicha xususiy hosila olib, chiqqan natijani tenglamalardan ikkinchisiga tenglaymiz:

Bu tenglikdan funksiyani topish qiyin emas: . Shunga binoan, bo’ladi. Berilgan tenglamaning umumiy integrali ko’rinishda yoziladi.►

3. 
   Tenglamani integrallovchi ko’paytuvchi usulidan foydalanib yeching.
   

Integrallovchi ko’paytuvchini topishning ba’zi xususiy xollarini ko’rib ketamiz. Bunda, belgilash kiritamiz. Shubxasiz, va bo’lishi kerak.
1-hol. Agar ifoda o’zgarmas son yoki faqat o’zgaruvchiga bog’liq funksiya bo’lsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishda, ya’ni faqat o’zgaruvchiga bog’liq funksiya bo’ladi va u ushbu

tenglamadan
,
formula bo’yicha topiladi.
2-hol. Agar ifoda o’zgarmas son yoki faqat o’zgaruvchiga bog’liq funksiya bo’lsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi ko’rinishda, yahni faqat o’zgaruvchiga bog’liq funksiya bo’ladi va u ushbu

tenglamadan
,
formula bo’yicha topiladi.
3-hol. Agar tenglikni qanoatlantiruvchi qandaydir va funksiyalar topilsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi ko’paytma ko’rinishida bo’ladi. va funktsiyalar, mos ravishda,
va
formulalar yordamida topiladi.
4-hol. Agar va funksiyalar bir xil tartibli bir jinsli funksiyalar bo’lsa, u holda integrallovchi ko’paytuvchi

ko’rinishda topiladi.
tenglamalarning ba’zilari uchun
integrallovchi ko’paytuvchini topish