4-ma’ruza. Funksional qatorlar. Asosiy tushunchalar. Funksional qatorlarni differensiallash va integrallash

Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Darajali qatorning yaqinlashish intervali.
Reja:
1. Darajali qatorlar.
2. Abel teoremasi.
3. Darajali qatorning yaqinlashish intervali. Xossalari.
Ushbu
(1)
yoki umumiyroq
(2)
ko‘rinishdagi qatorlar darajali qatorlar deyiladi.
Bunda va lar o‘zgarmas sonlar bo‘lib, lar darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Agar (2) darajali qatorga ni biror o‘zgaruvchi, masalan deyilsa , u holda bu qator (1) ko‘rinishidagi qatorga keladi. Shu sababli (1) ko‘rinishdagi darajali qatorlarni o‘rganish yetarli bo‘ladi.
Masalan,


qatorlar darajali qatorlar bo‘ladi.
Shuni aytish kerakki, darajali qatorlar o‘z koeffitsentlari bilan to‘la aniqlaydi.
1-teorema (Abel teoremasi). Agar (1) darajali qator da yaqinlashuvchi bo‘lsa, ushbu
(3)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda (1) qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, da (1) qator yaqinlashuvchi, ya’ni

sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Qator yaqinlashshining zaruriy shartiga ko‘ra

Bundan esa
(4)
kelib chiqadi.
Endi (3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ni olib ushbu
(5)
qatorni qaraymiz. Ravshanki,

Endi (4) munosabatidan foydalansak, hamda

( chunki ) desak, u holda
(6)
kelib chiqadi.
Ma’lumki,

geometrik qator yaqinlashuvchi. Yaqinlashuvchi qator xossasiga ko‘ra

qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. U holda (6) munosabat hamda solishtirish alomatidan foydalanib, (5) qatorning yaqinlashuvchiligini topamiz. Demak,(1) qator da absolyut yaqinlashuvchi.
Abel teoremasining sharti bajarilganda (1) qatorning yaqinlashishi nuqtalari to‘plami, holda 1a) chizmada tasvirlangan:

1a) chizma

(1) qatorning yaqinlashishi nuqtalari to‘plami holda 1b) chizmada tasvirlangan:

1b) chizma

Natija. Agar (1) darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi , ya’ni

sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, ushbu

tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda qator uzoqashuvchi bo‘ladi.
Teskarisini faraz qilaylik, qaralayotgan qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi biror nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsin. U holda Abel teoremasiga ko‘ra tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda, jumladan nuqtada ham yaqinlashuvchi bo‘lib qoladi. Bu esa shartga zid. Demak, (1) darajali qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha larda uzoqlashuvchi.
Natijada keltirilgan darajali qatorning uzoqlashishi nuqtalari to‘plami 2-chizmada tasvirlangan:

2-chizma