2 – ta’rif. Agar (1) ketma – ketlikda uchun tengsizlik bajarilsa, kamayuvchi ketma – ketlik deyiladi. Agar (1) ketma – ketlikda uchun tengsizlik bajarilsa, qat’iy kamayuvchi ketma – ketlik deyiladi.
Misol. Ushbu
ketma – ketlik qat’iy kamayuvchi ketma – ketlik bo’ladi.
Haqiqatdan ham, berilgan ketma – ketlik uchun
bo’lib, uchun
bo’ladi. Unda bo’lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi ta’riflardan quyidagi hulosalar kelib chiqadi:
agar ketma – ketlik o’suvchi bo’lsa, u quyidan chegaralangan bo’ladi;
agar ketma – ketlik kamayuvchi bo’lsa, u yuqoridan chegaralangan bo’ladi.
O’suvchi hamda kamayuvchi ketma – ketliklar umumiy nom bilan monoton ketma – ketliklar deyiladi.
Misol. Ushbu
ketma – ketlikning qat’iy o’suvchi ekanligini isbotlansin.
Bu ketma – ketlikning n - hamda (n+1) - hadlari uchun
Demak, uchun . Bu esa qaralayotgan ketma – ketlikning qat’iy o’suvchi bo’lishini bildiradi.
20. Monoton ketma – ketlikning limiti. Quyida monoton ketma – ketliklarning limiti haqidagi teoremalarni keltiramiz.
1 – teorema. Agar ketma – ketlik
1) o’suvchi,
2) yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u chekli limitga ega bo’ladi.
Aytaylik ketma – ketlik teoremaning ikkala shartlarini bajarsin. Bu ketma – ketlikning barcha xadlaridan iborat to’plamni Ye bilan belgilaymiz.:
Ravshanki, Ye yuqoridan chegaralangan to’plam bo’lib, . Unda to’plamning aniq chegarasining mavjudligi haqidagi teoremaga muvofiq, sup E mavjud bo’ladi. Uni a bilan belgilaylik:
sup E=a
Ixtiyoriy sonini olaylik. To’plamning aniq chegarasi Ta’rifiga binoan:
bo’ladi. Ayni paytda uchun tengsizlik bajariladi.
Natijada uchun bo’lib, ya’ni bo’lishini topamiz.
Demak, ketma – ketlik chekli limitga ega va
.
