4 Mavzu. Monoton ketma-ketlikning limiti. Ichma-ich joylashgan segmentlar prinsipi. Qismiy ketma-ketlik. Bolsano-Veyershtrass teoremasi. Ketma-ketlik yaqinlashishining Koshi kriteriyasi

2 – teorema. Agar ketma – ketlik
1) kamayuvchi,
2) quyidan chegaralangan bo’lsa, u chekli limitga ega bo’ladi.
Bu Teorema yuqorida keltirilgan teoremaning isboti kabi isbotlanadi.
Misol. Ushbu

ketma – ketlikning limiti topilsin.
Yechish. Ravshanki, uchun bo’ladi. Bu ketma – ketlikning va xadlarining nisbatini qaraymiz.:

Demak, . Bundan esa berilgan ketma – ketlikning kamayuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Ayni paytda da

munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, berilgan ketma – ketlik chegaralangan. 1 – teoremaga ko’ra ketma – ketlik limitga ega. Uni a bilan belgilaymiz

Endi ushbu ayirmani qaraymiz. Bu ayirma uchun

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi. Keyingi munosabatlardan topamiz.:

Demak,



3⁰. e soni. Ushbu

ketma – ketlikni qaraymiz.
Tasdiq. (1) ketma – ketlik o’suvchi bo’ladi.
Berilgan ketma – ketlikning hamda xadlarining nisbatini qaraymiz.:

Bernulli tengsizligidan foydalanib topamiz.:

Natijada, uchun

ya’ni, bo’lishi kelib chiqadi.
Tasdiq. (1) ketma – ketlik chegaralangan bo’ladi.
Ravshanki, uchun

bo’ladi.
Endi Nyuton binomi formulasidan foydalanib topamiz.:

Demak, uchun bo’ladi.
Monoton ketma – ketlikning limiti haqidagi teoremaga ko’ra

ketma – ketlik chekli limitga ega bo’ladi.
3 – ta’rif. (1) ketma – ketlikning limiti ye soni deyiladi

Bu ye soni irrasional son bo’lib,
ye=2,718281818459045
bo’ladi.
Mashqlar. 1. Ushbu

ketma – ketlikning kamayuvchi ekanligini isbotlansin.
2. Ushbu

limit hisoblansin.
3. Ushbu

ketma – ketlikning yaqinlashuvchanligi isbotlansin va limiti topilsin.