5 lb. Book of gre practice Problems

Quantity A
z
Quantity B
–12

---

6. If (
x
+ 3)
2
= 225, which of the following could be the value of 
x
– 1?
(A)
13
(B)
12
(C)
–12
(D)
–16
(E)
–19
x
= 2
7.
Quantity A
x
2
– 4
x
+ 3
Quantity B
1
p
= 300
c
2
– 
c
c
= 100
8.
Quantity A
p
Quantity B
29,000
c
–(
x
)
3
= 64
9.
Quantity A
x
4
Quantity B
x
5
10. If 3
t
3
– 7 = 74, what is the value of 
t
2
– 
t
?
(A)
–3
(B)
3
(C)
6
(D)
9
(E)
18
11. If 
x
– 
y
= 4 and 2
x
+ 
y
= 5, what is the value of 
x
?

---

12. 4
x
+ 
y
+ 3
z
= 34
4
x
+ 3
z
= 21
What is the value of 
y
?
13.
Quantity A
(
x
+ 2) (
x
– 3)
Quantity B
x
2
– 
x
– 6
xy
> 0
14.
Quantity A
(2
x
– 
y
)(
x
+ 4
y
)
Quantity B
2
x
2
+ 8
xy
– 4
y
2
x
2
– 2
x
= 0
15.
Quantity A
x
Quantity B
2
16.
Quantity A
d
(
d
2
– 2
d
+ 1)
Quantity B
d
(
d
2
– 2
d
) + 1
17.
Quantity A
xy
2
z
(
x
2
z
+ 
yz
2
– 
xy
2
)
Quantity B
x
3
y
2
z
2
+ 
xy
3
z
3
– 
x
2
y
4
z
a
= 2
b
= 4
c
and 
a
, 
b
, and 
c
are integers.
18.
Quantity A
a
+ 
b
Quantity B
a
+ 
c
k
= 2
m
= 4
n
and 
k, m
, and 
n
are non-negative integers.
19.
Quantity A
km
Quantity B
kn

---

For the positive integers 
a, b, c,
and 
d, a
is half of 
b
, which is one-third of
c
. The value of 
d
is three times the value of 
c
.
20.
Quantity A
Quantity B
3
x
+ 6
y
= 27
x
+ 2
y
+ 
z
= 11
21.
Quantity A
z
+ 5
Quantity B
x
+ 2
y
– 2
22. If (
x
– 
y
) = 
and (
x
+ 
y
) = 
, what is the value of 
x
2
– 
y
2
?
(A)
3
(B)
6
(C)
9
(D)
36
(E)
It cannot be determined from the information given.
a
≠ 
b
23.
Quantity A
Quantity B
1

---

a
= 
c
= 3
b
24.
Quantity A
a
Quantity B
c
25. If 
xy
≠ 0 and 
x
≠ –
y
, 
(A)
1
(B)
x
2
– 
y
2
(C)
x
9
– 
y
9
(D)
x
18
– 
y
18
(E)
x
> 
y
xy
≠ 0
26.
Quantity A
Quantity B
27. If 
x
+ 
y
= –3 and 
x
2
+ 
y
2
= 12, what is the value of 2
xy
?

---

28. If 
x
– 
y
= 
and 
x
2
– 
y
2
= 3, what is the value of 
x
+ 
y
?
29. If 
x
2
– 2
xy
= 84 and 
x
– 
y
= –10, what is the value of |
y
|?
30. Which of the following is equal to (
x
– 2)
2
+ (
x
– 1)
2
+ 
x
2
+ (
x
+ 1)
2
+ (
x
+
2)
2
?
(A)
5
x
2
(B)
5
x
2
+ 10
(C)
x
2
+ 10
(D)
5
x
2
+ 6
x
+ 10
(E)
5
x
2
– 6
x
+ 10
31. If 
a
= (
x
+ 
y
)
2
and 
b
= 
x
2
+ 
y
2
and 
xy
> 0, which of the following must be
true?
Indicate all such statements.
a
= 
b
a
> 
b
a
is positive
32. 
a
is directly proportional to 
b
. If 
a
= 8 when 
b
= 2, what is 
a
when 
b
= 4?
(A)
10
(B)
16
(C)
32
(D)
64
(E)
128

---

Algebra Answers
1. 
676.
Distribute, group like terms, and solve for 
x
:
4(–3
x
– 8) = 8(–
x
+ 9)
–12
x
– 32 = –8
x
+ 72
–32 = 4
x
+ 72
–104 = 4
x
–26 =
x
Then, multiply 26 by 26 in the calculator (or –26 by –26, although the
negatives will cancel each other out) to get 
x
2
, which is 676.
2. –
6.
2
x
(4 – 6) = –2
x
+ 12
2
x
(–2) = –2
x
+ 12
–4
x
= –2
x
+ 12
–2
x
= 12
x
= –6
3. –
2.
= –6
Multiply both sides by 2
x
, distribute the left side, combine like terms, and
solve:
3(6 – 
x
) = –6(2
x
)
18 – 3
x
= –12
x
18 = –9
x
–2 =
x

---

4. –
6.
= 17
Multiply both sides by the expression 2 – 
x
, distribute both sides, combine
like terms, and solve:
8 – 2(–4 + 10
x
) = 17(2 – 
x
)
8 + 8 – 20
x
= 34 – 17
x
16 – 20
x
= 34 – 17
x
16 = 34 + 3
x
–18 = 3
x
–6 =
x
5. 
(A).
Translate the question stem into an equation and solve for 
z
:
–5 = –
z
+ 7
–12 = –
z
12 =
z

---

Because 
z
= 12 > –12, Quantity A is greater.
6. 
(E).
Begin by square-rooting both sides of the equation, but remember that
225 could be the square of either 15 or –15. (The calculator will not remind
you of this! It’s your job to keep this in mind). So:
x
+ 3 = 15
x
= 12
so, 
x
– 1 = 11
OR
x
+ 3 = –15
x
= –18
so, 
x
– 1 = –19
Only –19 appears in the choices.
7. 
(B).
To evaluate the expression in Quantity A, replace 
x
with 2.
x
2
– 4
x
+ 3 =
(2)
2
– 4(2) + 3 =
4 – 8 + 3 = –1 < 1
Therefore, Quantity B is greater.
8. 
(A).
To find the value of 
p
, first replace 
c
with 100 to find the value for
Quantity A:
p
= 300
c
2
– 
c
p
= 300(100)
2
– 100
p
= 300(10,000) – 100
p
= 3,000,000 – 100 = 2,999,900
Since 
c
= 100, the value for Quantity B is 29,000(100) = 2,900,000. Quantity
A is greater.

---

9. 
(A).
First, solve for 
x:
–(
x
)
3
= 64
(
x
)
3
= –64
The GRE calculator will not do a cube root. As a result, cube roots on the
GRE tend to be quite small and easy to puzzle out. What number times itself
three times equals –64? The answer is 
x
= –4.
Since 
x
is negative, Quantity A is positive (a negative number times itself four
times is positive) and Quantity B is negative (a negative number times itself
five times is negative). No further calculations are needed to conclude that
Quantity A is greater. Notice that solving for the value of 
x
here was not
strictly necessary. Knowing that the cube root of a negative number is
negative gives you all the information you need to solve.

---

10. 
(C).
First, solve for 
t
:
3
t
3
– 7 = 74
3
t
3
= 81
t
3
= 27
t
= 3
Now, plug 
t
= 3 into 
t
2
– 
t
:
(3)
2
– 3 = 9 – 3 = 6
11. 
3.
Notice that the first equation has the term –
y
while the second equation
has the term +
y
. While it is possible to use the substitution method, summing
the equations together will make –
y
and 
y
cancel, so this is the easiest way to
solve for 
x
.
x
– 
y̸
= 4
2
x
+ 
y̸
= 5
3
x
= 9
x
= 3
12. 
13.
This question contains only two equations, but three variables. To
isolate 
y
, both 
x
and 
z
must be eliminated. Notice that the coefficients of 
x
and
z
are the same in both equations. Subtract the second equation from the first to
eliminate 
x
and 
z
.
4
x
+ 
y
+ 3
z
= 34
–(4
x
+ 3
z
) = 21)
y
= 13
13. 
(C).
FOIL the terms in Quantity A:
(
x
+ 2)(
x
– 3) = 
x
2
– 3
x
+ 2
x
– 6 = 
x
2
– 
x
– 6
The two quantities are equal.

---

14. 
(B).
FOIL the terms in Quantity A:
(2
x
– 
y
)(
x
+ 4
y
) = 2
x
2
+ 8
xy
– 
xy
– 4
y
2
= 2
x
2
+ 7
xy
– 4
y
2
Since 2
x
2
and –4
y
2
appear in both quantities, eliminate them. Quantity A is
now equal to 7
xy
and Quantity B is now equal to 8
xy
. Because 
xy
> 0,
Quantity B is greater. (Don’t assume! If 
xy
were zero, the two quantities
would have been equal. If 
xy
were negative, Quantity A would have been
greater.)
15. 
(D).
Factor 
x
2
– 2
x
= 0:
x
2
– 2
x
= 0
x
(
x
– 2) = 0
x
= 0 OR (
x
– 2) = 0
x
= 0 or 2.
Thus, Quantity A could be less than or equal to Quantity B. The relationship
cannot be determined from the information given.
(Note that you 
cannot
simply divide both sides of the original equation by 
x
.
It is illegal to divide by a variable unless it is certain that the variable does not
equal zero.)
16. 
(D).
In Quantity A, multiply 
d
by every term in the parentheses:
d
(
d
2
– 2
d
+ 1) =
(
d
× 
d
2
) – (
d
× 2
d
) + (
d
× 1) =
d
3
– 2
d
2
+ 
d
In Quantity B, multiply 
d
by the two terms in the parentheses:
d
(
d
2
– 2
d
) + 1 =
(
d
× 
d
2
) – (
d
× 2
d
) + 1 =
d
3
– 2
d
2
+ 1
Because 
d
3
– 2
d
2
is common to both quantities, it can be ignored. The
comparison is really between 
d
and 1. Without more information about 
d
, the
relationship cannot be determined from the information given.
17. 
(C).
In Quantity A, the term 
xy
2
z
on the outside of the parentheses must
be multiplied by each of the three terms inside the parentheses. Then simplify
the expression as much as possible.
Taking one term at a time, the first is 
xy
2
z
× 
x
2
z
= 
x
3
y
2
z
2
, because there are
three factors of 
x
, two factors of 
y
, and two factors of 
z
. Similarly, the second

---

term is 
xy
2
z
× 
yz
2
= 
xy
3
z
3
and the third is 
xy
2
z
× (–
xy
2
) = –
x
2
y
4
z
. Adding these
three terms together gives the distributed form of Quantity A: 
x
3
y
2
z
2
+ 
xy
3
z
3
–
x
2
y
4
z
.
This is identical to Quantity B, so the two quantities are equal.

---

18. 
(D).
Since 
a
is common to both quantities, it can be ignored. The
comparison is really between 
b
and 
c
. Because 2
b
= 4
c
, it is true that 
b
= 2
c
,
so the comparison is really between 2
c
and 
c
. Watch out for negatives. If the
variables are positive, Quantity A is greater, but if the variables are negative,
Quantity B is greater.
19. 
(D).
If the variables are positive, Quantity A is greater. However, all three
variables could equal zero, in which case the two quantities are equal. Watch
out for the word “non-negative,” which means “positive or zero.”
20. 
(C).
The following relationships are given: 
a
= , 
b
= , and 
d
= 3
c
. Pick
one variable and put everything in terms of that variable. For instance,
variable 
a
:
b
= 2
a
c
= 3
b
= 3(2
a
) = 6
a
d
= 3
c
= 3(6
a
) = 18
a
Substitute into the quantities and simplify.
Quantity A: 
Quantity B: 
The two quantities are equal.
21. 
(C).
This question may at first look difficult, as there are three variables
and only two equations. However, notice that the top equation can be divided
by 3, yielding 
x
+ 2
y
= 9. This can be plugged into the second equation:
(
x
+ 2
y
) + 
z
= 11
(9) + 
z
= 11
z
= 2
Quantity A is thus 2 + 5 = 7. For Quantity B, remember that 
x
+ 2
y
= 9. Thus,
Quantity B is 9 – 2 = 7.
The two quantities are equal.

---

22. 
(B).
The factored form of the Difference of Squares (one of the “special
products” you need to memorize for the exam) is comprised of the terms
given in this problem:
x
2
– 
y
2
= (
x
+ 
y
)(
x
– 
y
)
Substitute the values 
and 
in place of (
x
– 
y
) and (
x
+ 
y
), respectively:
x
2
– 
y
2
= 
× 
Combine 12 and 3 under the same root sign and solve:
x
2
– 
y
2
=
x
2
– 
y
2
=
x
2
– 
y
2
= 6
23. 
(B).
Plug in any two unequal values for 
a
and 
b,
and Quantity A will
always be equal to –1. This is because a negative sign can be factored out of
the top or bottom of the fraction to show that the top and bottom are the same,
except for their signs:
24. 
(D).
To compare 
a
and 
c
, put 
c
in terms of 
a
. Multiply the first equation by
2 to find that 
b
= 2
a
. Substitute into the second equation: 
c
= 3
b
= 3(2
a
) = 6
a
.
If all three variables are positive, then 6
a
> 
a
. If all three variables are
negative, then 
a
> 6
a
. Finally, all three variables could equal zero, making the
two quantities equal.
25. 
(C).
The Difference of Squares (one of the “special products” you need to
memorize for the exam) is 
x
2
– 
y
2
= (
x
+ 
y
)(
x
– 
y
). This pattern works for any
perfect square minus another perfect square. Thus, 
x
36
– 
y
36
will factor
according to this pattern. Note that 
, or 
x
36
=
(
x
18
)
2
. First, factor 
x
36
– 
y
36
in the numerator, then cancel 
x
18
+ 
y
18
with the
x
18
+ 
y
18
on the bottom:

---

The 
x
18
– 
y
18
in the numerator will also factor according to this pattern. Then
cancel 
x
9
+ 
y
9
with the 
x
9
+ 
y
9
on the bottom:
26. (
D).
It is possible to simplify first and then plug in examples, or to just
plug in examples without simplifying. For instance, if 
x
= 2 and 
y
= 1:
Quantity A:
Quantity B:
In this case, Quantity A is greater. Next, try negatives. If 
x
= –1 and 
y
= –2
(remember, 
x
must be greater than 
y
):
Quantity A:
Quantity B:
Quantity A is still greater. However, before assuming that Quantity A is

---

always
greater, make sure you have tried every category of possibilities for 
x
and 
y.
What if 
x
is positive and 
y
is negative? For instance, 
x
= 2 and 
y
= –2:
Quantity A:
Quantity B:
In this case, Quantity B is greater. The relationship cannot be determined
from the information given.
27. –
3.
One of the “special products” you need to memorize for the GRE is 
x
2
+ 2
xy
+ 
y
2
= (
x
+ 
y
)
2
. Write this pattern on your paper, plug in the given
values, and simplify, solving for 2
xy
:
x
2
+ 2
xy
+ 
y
2
= (
x
+ 
y
)
2
(
x
2
+ 
y
2
) + 2
xy
= (
x
+ 
y
)
2
(12) + 2
xy
= (–3)
2
12 + 2
xy
= 9
2
xy
= –3

---

28. 
6.
The Difference of Squares (one of the “special products” you need to
memorize for the exam) is 
x
2
– 
y
2
= (
x
+ 
y
)(
x
– 
y
). Write this pattern on your
paper and plug in the given values, solving for 
x + y:
x
2
– 
y
2
= (
x
+ 
y
)(
x
– 
y
)
3 = (
x
+ 
y
)(1/2)
6 =
x
+ 
y
29. 
4.
One of the “special products” you need to memorize for the exam is 
x
2
– 2
xy
+ 
y
2
= (
x
– 
y
)
2
. Write this pattern on your paper and plug in the given
values:
x
2
– 2
xy
+ 
y
2
= (
x
– 
y
)
2
84 + 
y
2
= (–10)
2
84 + 
y
2
= 100
y
2
= 16
y
= 4 or –4, so |
y
| = 4.
30. 
(B)
. First, multiply out (remember FOIL = First, Outer, Inner, Last) each
of the terms in parentheses:
(
x
2
– 2
x
– 2
x
+ 4) + (
x
2
– 1
x
– 1
x
+ 1) + (
x
2
) + (
x
2
+ 1
x
+ 1
x
+ 1) + (
x
2
+
2
x
+ 2
x
+ 4)
Note that some of the terms will cancel each other out (e.g., –
x
and 
x
, –2
x
and
2
x
):
(
x
2
+ 4) + (
x
2
+ 1) + (
x
2
) + (
x
2
+ 1) + (
x
2
+ 4)
Finally, combine:
5
x
2
+ 10
31.