5-Ma’ruza. O’lchov natijalarini qayta ishlash. O’lchana­yot­gan kattaliklar qiymatini aniqlashning turli usullari. O’lchov xatoliklari, turlari. O’lchov xatoliklarini bartaraf etish usullari

5.2. Tasodifiy xatolikning normal qonun bo‘yicha taqsimlanishi va uni ehtimoliy baholanishi.
O‘lchash natijalarini qayta ishlash usullarini o‘rganishdan maqsad, o‘lchash natijasini o‘lchanadigan kattalikni asli (chinakam) qiymatiga qanchalik yaqin ekanligini aniqlash, yoki uning haqiqiy qiymatini topish, o‘lchashda hosil bo‘ladigan xatolikning o‘zgarish xarakterini aniqlash va o‘lchash aniqligini baholashdir.
Bir narsaga alohida ahamiyat berishga to‘g‘ri keladi. YUqorida oldingi mavzularda aytilganidek, muntazam xatoliklarni chuqur tahlili asosida aniqlashimiz va maxsus choralarni ko‘rib, so‘ngra ularni bartaraf etishimiz, yoki kamaytirishimiz mumkin ekan. Tasodifiy xatoliklarda esa bu jumla o‘rinli emas. Bu turdagi xatoliklarni faqat baholashimiz mumkin.
Har kanday fizikaviy kattalik o‘lchanganda, uning taxminiy qiymati aniqlanadi. Bu qiymatni esa tasodifiy kattalik deb hisoblash kerak va u ikki tashkil etuvchidan iborat bo‘ladi. Birinchi tashkil etuvchisi takror o‘lchashlarda o‘zgarmaydigan yoki ma’lum qonun bo‘yicha o‘zgaradigan (ko‘payadigan yoki kamayuvchi) bo‘lib, uni muntazam (sistematik) xatolik deyiladi. Bu tashkil etuvchini - matematik kutilish deb yuritish mumkin. Ikkinchi tashkil etuvchi esa, tasodifiy xatolik bo‘ladi.
Agar o‘lchashda hosil bo‘ladigan xatolik normal qonun bo‘yicha (Gauss qonuni) taqsimlanadi desak, u holda uni matematik tarzda quyidagicha yozish mumkin:

bu erda y(∆) - tasodifiy xatolikning o‘zgarish ehtimolligi;

∆ - o‘rtacha kvadratik xatolik; ∆(δ) - tuzatma yoki ∆= X -Xi bo‘lib, Xi - alohida o‘lchashlar natijasi, X - esa o‘lchanadigan kattalikning ehtimoliy qiymati, yoki uning o‘rtacha arifmetik qiymatidir.
O‘lchanadigan kattalikning o‘rtacha arifmetik qiymati quyidagicha topiladi:

bu erda x1, x2, ... xn- alohida o‘lchashlar natijasi; n- o‘lchashlar soni.
O‘rtacha kvadratik xatolik (o‘zgarish) quyidagicha topiladi:



Quyida keltirilgan chizmada o‘rtacha kvadratik xatoliklarning har xil qiymatlarida xatolikning o‘zgarish egri chiziqlari ko‘rsatilgan. Grafikdan ko‘rinib turibdiki, o‘rtacha kvadratik xatolik qanchalik kichik bo‘lsa, xatolikning kichik qiymatlari shunchalik ko‘p uchraydi, demak, o‘lchash shunchalik yuqori aniqlikda olib borilgan hisoblanadi. O‘lchash aniqligini baholash, ehtimollik nazariyasining qonun va qoidalariga asoslanib baholanadi; ya’ni ishonchli interval va uni xarakterlovchi ishonchli ehtimollik qabul qilinadi. Odatda, ishonchli interval ham, ishonchli ehtimollik ham konkret o‘lchashlar sharoitiga qarab tanlanadi.

Masalan: tasodifiy xatolikning normal qonuni bo‘yicha taqsimlanishida (o‘zgarishida) ishonchli interval +3 -3σ gacha, ishonchli ehtimollik esa 0,9973 qabul qilinishi mumkin. Bu degan so‘z 370 tasodifiy xatolikdan bittasi o‘zining absolyut qiymati bo‘yicha 3 dan katta bo‘ladi va uni qo‘pol xatolik deb hisoblab, o‘lchash natijalarini qayta ishlashda hisobga olinmaydi. O‘lchash natijasining aniqligini baholashda ehtimoliy xatolikdan foydalaniladi. Ehtimoliy xatolik esa, shunday xatolikki, unga nisbatan, qandaydir kattalikni qayta o‘lchaganda tasodifiy xatolikning bir qismi absolyut qiymati bo‘yicha ehtimoliy xatolikdan ko‘p, ikkinchi qismi esa undan shuncha kam bo‘ladi.
Bundan chiqadiki, ehtimoliy xatolik, ishonchli intervalga teng bo‘lib, bunda ishonchli ehtimollik R=0,5 ga teng bo‘ladi Tasodifiy xatolik normal qonun bo‘yicha taqsimlanganda ehtimoliy xatolik quyidagicha topilishi mumkin

- o‘rtacha arifmetik qiymat bo‘yicha kvadratik xatolikdir. Ehtimoliy xatolik bu usulda, ko‘pincha o‘lchashni bir necha o‘n, xattoki yuz marotaba takrorlash imkoniyati bo‘lgandagina aniqlanadi.
Ba’zida o‘lchashni juda ko‘p marotaba takrorlash imkoniyati bo‘lmaydi, bunday holda ehtimoliy xatolik St’yudent koeffitsienti yordamida aniqlanadi. Bunda, koeffitsient o‘lchashlar soni va qabul qilingan ishonchli ehtimollik qiymati bo‘yicha maxsus jadvaldan olinadi. Bu holda, o‘lchanadigan kattalikning haqiqiy qiymati quyidagi formula bo‘yicha hisoblab topiladi

bu erda, tn - Ct’yudent koeffitsienti.
SHunday qilib, o‘rtacha kvadratik xatolik o‘lchanadigan kattalikning xaqiqiy qiymati istalgan uning o‘rtacha arifmetik qiymati atrofida bo‘lish ehtimolini topishga imkon beradi, , bo‘lganda yoki o‘lchash sonini ko‘paytirish bilan ga intilib boradi. Bu esa o‘z navbatida o‘lchash aniqligini oshiradi.
Albatta, bundan o‘lchash aniqligini istalgancha oshirish (ko‘tarish) mumkin degan xulosaga kelmaslik kerak, chunki o‘lchash aniqligi, tasodifiy xatolik to muntazam xatolikka tenglashguncha oshadi.
SHuning uchun, tanlab olingan ishonchli interval va ishonchli ehtimolik qiymatlari bo‘yicha kerakli o‘lchashlar sonini aniqlash mumkinki, bu esa tasodifiy xatolikning o‘lchash natijasiga ham ta’sir ko‘rsatishini ta’minlasin.
Uning nisbiy birlikdagi qiymati esa quyidagi ifoda bo‘yicha aniqlanadi:



Takrorlash uchun savollar.
1. Tasodifiy xatoliklar deganda nimani tushunasiz?
2. Nima sababdan faqat tasodifiy xatoliklar baholanadi?
3. Matematik kutilish va dispersiya nima?
4. Ehtimoliy xatolik nima va u qanday topiladi?
5. Styudent koeffitsienti qanday tanlanadi?