5-mavzu: Kombinatorikaning asosiy qoidalariga doir misollar yechish Kombinatorikaning 1-qoidasi: Agar qandaydir A

2.5.13.	812	2.5.14.
3
2.5.15.	49	2.5.16.	1014

2.5.17.	2	2.5.18.	58
2.5.19.	25	2.5.20.	69
2.5.21.	59	2.5.22.	2
2.5.23.	37	2.5.24.	8
2.5.25.	2	2.5.26.	3
2.5.27.	1115	2.5.28.	5
2.5.29.	711

2.5.30.

912

0-topshiriqning yechilishi.


2.5.0. Bog‘dagi besh xil turdagi guldan 3 tadan qilib necha xil usulda buket yasash mumkin?

usulda buket yasash mumkin.

Takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlar

Teorema. Aytaylik k₁, k₂ ,..., k_m - butun manfiymas sonlar bo‘lib, va A to‘plam n ta elementdan iborat bo‘lsin. A ni elementlari mos ravishda k₁, k₂ ,..., k_m ta bo‘lgan m ta to‘plam ostilar yigindisi ko‘rinishida ifodalash usullari soni


ta bo‘ladi.


sonlar polinomial koeffitsiyentlar deyiladi.

2.4.0. “Matematika” so‘zidagi harflardan nechta so‘z yasash mumkin?

2.4.1. “Kombinatorika” so‘zidagi harflardan nechta so‘z yasash mumkin?

2.4.2. Familiyangizdagi harflardan nechta so‘z yasash mumkin?

2.4.3. a,b,c harflaridan a harfi ko‘pi bilan 2 marta, b harfi ko‘pi bilan bir marta, c harfi ko‘pi bilan 3 marta qatnashadigan nechta 5 ta harfli so‘z yasash mumkin?

2.4.4. (1+x)ⁿ yoyilmasida x⁵ va x¹² hadlar oldidagi koeffitsiyentlar teng bo‘lsa, n nimaga teng?

2.4.5. yoyilmasida nechta ratsional had mavjud?

2.4.6. Polinomial teorema yordamida (x+y+z)³ yoyilmani toping?

2.4.7. (x+y+z)⁷ ning yoyilmasida x²y³z² had oldidagi koeffitsiyent nimaga teng?

2.4.8. 8 ta fanning har biridan 3, 4, 5 baholar olish mumkin. Baholar yig‘indisi 30 ga teng bo‘ladigan qilib imtixonlarni necha xil usulda topshirish mumkin?

2.4.9. Abituriyent 3 ta fandan imtixon topshirishi lozim. Har bir imtixondan ijobiy baho (3,4,5-baholar) olgandagina, keyingi imtixonga qo‘yiladi. O‘qishga kirish uchun o‘tish bali 17 ball bo‘lgan bo‘lsa, abituriyent imtixonlarni necha xil usulda topshirishi mumkin?

2.4.10. (1+2t-3t²)⁸ yoyilmasida t⁹ oldidagi koeffitsiyent nimaga teng?

Masala 2.4.11.-2.4.20 So‘z – o‘zbek alifbosidagi ixtiyoriy chekli harflar ketma-ketligidir. Quyida berilgan so‘zlardagi harflardan nechta so‘z yasash mumkin?

2.4.11. BISSEKTRISSA; 2.4.12. PARABOLA; 2.4.13. GIPERBOLA;

2.4.14. ELLIPS; 2.4.15. SIMMETRIK; 2.4.16. PARALEL;

2.4.17. PARALELOGRAM; 2.4.18. PARALELOPIPED; 2.4.19. REFLEKSIV;

2.4.20. TRANZITIV.

2.4.21. Mevalar korzinkasida 2 ta olma, 3ta nok, 4 ta apelsin bor. Har kuni bitta meva yeyish mumkin bo‘lsa, buni necha xil usulda amalga oshirish mukin?

2.4.22. Talabalar turar joyida 1 kishilik, 2, kishilik va 4 kishilik xonalar mavjud. 7 ta talabani necha xil usulda joylashtirish mumkin?

2.4.23. Shaxmat taxtasining birinchi gorizontalida oq shaxmat donalari komplekti: 1ta shox, 1ta farzin, 2 ta ot, 2 ta fil, 2 ta to‘rani necha xil usulda joylashtirish mumkin?

2.4.24. Beshta A harfi va ko‘pi bilan 3 ta B harfidan nechta so‘z yasash mumkin?

2.4.25. 7xil gul turidan 3 tadan yoki 5 tadan qilib nechta gul buketi yasash mumkin?
0-topshiriqning ishlanishi.


2.4.0. Misolning yechilishi. “Matematika” so‘zidagi harflardan nechta so‘z yasash mumkin?

k₁=2 (“m”- harfi), k₂ =2 (“a” – harfi), k₃ =2 (“t” - harfi), k₄=1 (“e” - harfi), k₅=1 (“i”-harfi), k₆=1 (“k”- harfi), n=10 (so‘zdagi harflar soni)

S hu o‘rinda eslatib o‘tamiz BMI, magistrlik dissertatsiyasi yoki ilmiy ishingizda ko‘p miqdordagi takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlarni hisoblashga to‘g‘ri kelsa, unda Excel dasturlar paketidagi МУЛЬТИНОМ komandasidan foydalanish mumkin: Masalan ekanligini tezlik bilan

hisoblash hech qanday qiyinchilik tug‘dirmaydi.


2.6. Кombinator tenglamalar

2.6.0.		2.6.1.
2.6.2.		2.6.3.

2.6.4.		2.6.5.
2.6.6.		2.6.7.

2.6.8.

	2.6.9.
2.6.10.

2.6.11.

2.6.12.		2.6.13.

2.6.14.

	2.6.15.
2.6.16.		2.6.17.

2.6.18.

	2.6.19.
2.6.20.		2.6.21.

2.6.22.

	2.6.23.
2.6.24.

2.6.25.

0-topshiriqning ishlanishi.


2.6.0.

Tenglamani yechish uchun , va x birdan katta natural son bo‘lishi mumkinligini e’tiborga olib, tenglamada qatnashgan mos koeffitsiyentlarni yuqoridagi formulalarga asoslanib yoyib chiqamiz:

Soddalashtiramiz, surat va maxrajlarda qisqarishi mumkin bo‘lgan faktoriallarni qisqartiramiz.



Tenglamaning ikkala tomonini x*(x+1) ga qisqartiramiz, 12 bilan 4!=1*2*3*4=24 ni qisqartirib, tenglamada ayrim shakl almashtirishlarni amalgam oshirib, quyidagi ko‘rinishga olib kelamiz:


;

.
Kvadrat tenglama yechimlari x₁=-13 bizning shartni (x>1) bajarmaydi Ø, x₂=8 yechim esa kombinator tenglamamiz yechimi bo‘ladi.

8-mavzu: Bul algebrasi. Ikkilik mantiqiy amallar. Kon’yunksiya, diz’yunksiya, inkor, implikatsiya, ekvivalentlik amallari
Fikr tushunchasi matematikada boshlang‘ich tushuncha bo‘lib, unga ta’rif berilmaydi. Unga quyidagicha mazmun berish mumkin. Rost yoki yolg‘on deyish ma’noga ega bo‘lgan gapga fikr deyiladi. Shunday qilib fikr xususiyati shundaki ikkita qiymatdan birini rost -1, yoki yolg‘on – 0 qabul qiladi. Bu qiymatlarga fikrning haqqoniylik qiymatlari deyiladi. Fikrlar sodda yoki tuzilgan bo‘lishi mumkin.


Ta’rif 1. Agar A fikrda o‘zi bir fikr bo‘lgan va ma’nosi bo’yicha A bilan ustma-ust tushmaydigan bir qismini ajratib ko‘rsatishni iloji bo‘lmasa A fikr sodda fikr deyiladi, aks holda A fikr tuzilgan fikr deyiladi.
Sodda fikrlar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi – A, B, C, ….
Ularning rost yoki yolg‘onligini esa A=1 yoki B=0 kabi belgilanadi.

Ta’rif 2. O‘zgaruvchan fikrlarni belgilash uchun ishlatiladigan harflarga fikr o‘zgaruvchilari deyiladi.

1.2. Bul funksiyalari
Argumenti va funksiya qiymati 0 yoki 1 qiymatni qabul qiluvchi n ta o‘zgaruvchi x₁, x₂, … , x_n ga bog‘liq bo‘lgan har qanday y=f (x₁, x₂, … , x_n) funksiyaga Bul funksiyasi deyiladi.


n o‘zgaruvchili Bul funksiyasini rostlik jadvali bilan berish mumkin.
Inkor – bir o‘zgaruvchili Bul funksiyasi bo‘lib, quyidagicha rostlik jadvali bilan beriladi:

x	0	1	Belgilanishi
f(x)	1	0	x

Ikki o‘zgaruvchili Bul funksiyalari quyidagicha rostlik jadvali bilan beriladi:

x	0	0	1	1	Nomlanishi	Belgilanishi
y	0	1	0	1
f1(x,y)	0	0	0	1	Kon’yunksiya	x&y, xy, xy, min(x,y)
f2(x,y)	0	1	1	1	Diz’yunksiya	xy, max(x,y), x+y
f3(x,y)	1	1	0	1	implikatsiya	x→y, xy, xy
f4(x,y)	1	0	0	1	ekvivalentlik	xy, xy, xy
f5(x,y)	0	1	1	0	2 modul bo‘yicha yig‘indi	xy, (xy)
f6(x,y)	1	1	1	0	Sheffer shtrixi	xy, (xy)
f7(x,y)	1	0	0	0	Pirs strelkasi	xy, (xy)

Ushbu amallarning barchasi tabiiydek, lekin → amaliga ongimiz qarshilik ko‘rsatayotgandek tuyuladi, haqiqatda esa bunday aniqlangan amal mantiqqa to‘g‘ri keladi. Masalan: Quyidagicha fikrlar berilgan bo‘lsin;
Q(x)={agar x natural son 4 ga bo‘linsa, u holda x natural son 2 ga bo‘linadi}
A(x)={x natural son 4 ga bo‘linadi}, B(x)={x natural son 2 ga bo‘linadi}, u holda Q(x)=A(x)→B(x) u holda Q(8)=A(8)→B(8) (1=1→1) Q(2)=A(2)→B(2) (1=0→1) ekanligini ko‘rish mumkin.