5-Mavzu: Vektorlarni skalyar, vektor va aralash ko‘paytmalari. Ularning xossalari. Vektorlar orasidagi burchak. Ikki vektorning kollinearlik va komplanarlik shartlari. Chiziqli va vektor algebrasi nazariyasini texnik masalalarga tadbiqlari

Ortogonal vektorlar
Perpendikulyar vektorlar odatda ortogonal vektorlar deb xam yuritiladi. Teoremadan ko‘rinadiki, ikki vektor ortogonal bo‘lishi uchun skalyar ko‘paytma nolga teng bo‘lishi zarur va etarli. Ortogonal vektorlarni deb yozamiz.

Misol. Tekislikda berilgan vektorning to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar ekanligini isbotlang.

Isboti. va to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalar bo‘lsin, ya’ni
, .
vektor to‘g‘ri chiziqda yotgani uchuni kki vektor va ning ortogonalligini isbotlash kifoya. Ikki tenglikni ikkinchisidan birinchisini ayirsak,
kelib chiqadi, bu esa
.
Quyidagi teoremada skalyar ko‘paytmaning asosiy xossalari keltiriladi. Ular vektorlar bilan ish ko‘rganda, juda asqotadi.
Teorema 3.Skalyar ko‘paytmaning algebraik xossalari.
Bizga ikki yoki uch o‘lchovli , va vektorlar va skalyar son berilgan bo‘lsin.

1. 
   (Skalyar ko‘paytmaning kommutativligi)
   
2. 
   (Skalyar ko‘paytmaning distributivligi)
   
3. 
   (Skalyar ko‘paytmaning assotsiativligi)
   
4. 
   agarda va agarda
   

Bu teoremalarning isbotlarini mashq sifatida ko‘rib chiqish tavsiya etiladi.
Ortogonal proeksiya.
Ko‘p xollarda berilgan vektorni boshqa bir berilgan vektorga parallel va perpendikulyar bo‘lgan vektorlar yig‘indisi bo‘yicha yoyish masalasi qo‘yiladi.

4- chizma.

4- chizmadan ko‘rinib turibdiki,

vektor vektorning vektorga ortogonal proeksiyasi, yoki vektor yo‘nalishi bo‘yicha komponentasi deb ataladi, va quyidagicha yoziladi.

vektorning vektorga proeksiyasi deb o‘qiladi.
vektor esa vektorning vektorga ortogonal komponentasi deb ataladi.

Quyidagi teoremada va vektorlarni xisoblash uchun formulalar keltirilgan.
Teorema 4. Agar va vektorlar ikki yoki uch o‘lchovli vektorlar bo‘lib, bo‘lsa,
vektorning vektor yo‘nalishidagi komponentasi.
vektorning vektorga ortogonal komponentasi.
Bu teoremalarning isbotlarini mashq sifatida ko‘rib chiqish tavsiya etiladi.

Misol. Bizga va vektorlar berilgan bo‘lsin. vektorning vektor yo‘nalishidagi va vektorning vektorga ortogonal komponentalarini toping.

Yechish. Avval skalyar ko‘paytmani topamiz.


vektorning vektor yo‘nalishidagi komponentasi



va vektorning vektorga ortogonal komponentasi

vector bilan vektorning perpendikulyarligini skalyar ko‘paytma hisoblab, tekshirsa bo‘ladi.

5 -chizma.

vektorning vektor yo‘nalishidagi komponentasi modulini xisoblaymiz.



Misol. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa.
nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani toping.
Yechish. nuqta to‘g‘ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. vektor to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar vektor.

6- chizma.

vektorning vektor yo‘nalishidagi komponentasini topamiz. Uning uzunligi masofaga teng.

Misol. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani toping.
Yechish.