Vektorlarning vektor ko‘paytmasi. Ko‘p hollarda vektorlarni geometriya, fizika va texnikada qo‘llashda berilgan ikki vektorga perpendikulyar bo‘lgan vektorni topish masalasi uchraydi. Bu bo‘limda biz shu vektorlarni qanday toppish mumkinligini ko‘rsatamiz.
Avvalgi bo‘limda ikki va uch o‘lchovli vektorlarning skalyar ko‘paytmasini ko‘rib chiqqandik. Endi ikki vektorning vector ko‘paytmasi deb ataluvchi tushuncha kiritamiz. Bu tushuncha faqat uch o‘lchovli vektorlarga xos.
Ta’rif 5.Vektor ko‘paytma.
Agar fazoda uch o‘lchovli va vektorlar berilgan bo‘lsa, ularning vector ko‘paytmasi deb quyidagi vektorga aytamiz.
Izoh. Bu ta’rifda formulani oson eslab qolish uchun quyidagicha ish ko‘ramiz. o‘lchovli matritsada birinchi ustun vektorning komponentalari, ikkinchi ustun vektorning komponentalari. vektorning komponentalarini topish uchun avval birinchi satrni «o‘chiramiz», xosil bo‘lgan matritsaning determinantini hisoblaymiz, bu birinchi komponenta. Keyin ikkinchi satrni «o‘chiramiz», xosil bo‘lgan matritsaning determinantini hisoblaymiz va (-1) ga ko‘paytiramiz, bu ikkinchi komponenta. Va nixoyat uchinchi satrni «o‘chiramiz», hosil bo‘lgan matritsaning determinantini hisoblaymiz, bu uchinchi komponenta.
Misol. va vektorlarning vektor ko‘paytmasini xisoblang.
Yechish.
Ikki vektorning skalyar ko‘paytmasi bilan vektor ko‘paytma orasida katta farq bor. Skalyar ko‘paytmada skalyar son chiqadi, vektor ko‘paytmada esa, vektor. Quyidagi teorema skalyar ko‘paytmasi bilan vektor ko‘paytma orasida bog‘lanishlarni ko‘rsatadi.
Teorema 5. Skalyar va vektor ko‘paytma orasidagi bog‘lanishlar Bizga fazoda uch o‘lchovli , va vektorlar berilgan bo‘lsin.
vektor bilan ortogonal.
vektor bilan ortogonal.
Lagranj tengligi.
Misol. Berilgan va vektorlarga perpendikulyar bo‘lgan vektorni toping.
Yechish. 5-teoremaga binoan va Demak ikkala vektorga perpendikulyar bo‘lgan vektor uni xisoblaymiz.
Demak, vektor ga ham, ga ham perpendikulyar.
Quyidagi teoremada vector ko‘paytmaning arifmetik xossalari keltirilgan.
Teorema6. Vektor ko‘paytmaning arifmetik xossalari.Bizga fazoda uch o‘lchovli va vektorlar berilgan bo‘lsin.
Isbotlari 5-ta’rifdan kelib chiqadi.
1)isboti: ko‘paytma bilan ko‘paytmada matritsadagi ustunlar joyialmashadi. Matritsa determinantining xossasiga binoan bu holda ishora o‘zgaradi.
Qolgan teoremalarning isbotlarini mashq sifatida ko‘rib chiqish tavsiya etiladi.
5-teorema yordamida ba’zi vector ko‘paytmalarni ko‘rib chiqamiz:
Endi fazoda uch o‘lchovli va vektorlarning vektor ko‘paytmasini qarab chiqamiz.
