6-ma’ruza: Birinchi tur sirt integrali. Ikkinchi tur sirt integrali. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog`lanish. Reja

2-teorema. Agar funksiya da uzluksiz bo‘lsa, u hol­da ikkinchi tur egri chiziqli integral

mavjud bo‘lib,
(4)
bo‘ladi.
Aytaylik, (1) sistemadagi funksiyalar da uzluk­siz hosilalarga ega bo‘lsin.
3-teorema. Agar va funksiyalar da uzluksiz bo‘lsa, u holda egri chiziqli integral

mavjud bo‘lib,
(5)
bo‘ladi.
Bu teoremalar yuqoridagi 1-teorema kabi isbotlanadi. Keltirilgan teoremalar ikkinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligini isbotlash bilan birga ular aniq integrallarga (Riman integrallariga) kelishini ifodalaydi. Binobarin, egri chiziqli integrallarni hisoblash imkonini beradi. Egri chiziqli integrallar (2),(4) va (5) formulalar yordamida hisoblanadi.
Agar egri chiziq ushbu
,
tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, unda egri chiziqli integrallar bir­mun­cha sodda ko‘rinishga ega bo‘ladi. Aytaylik, egri chiziq

tenglama bilan berilgan bo‘lib, funksiya da uzluksiz, hosilaga ega bo‘lsin. U holda (2) va (5) formulalar quyidagi
(6)
(7)
ko‘rinishga keladi. Aytaylik egri chiziq

tenglama bilan berilgan bo‘lib, funksiya da uzluksiz hosilaga ega bo‘lsin. U holda (4) va (5) formulalar quyidagi
, (8)
(9)
ko‘rinishga keladi.

1-misol. Ushbu

integrallar hisoblansin. Bunda egri chiziq parabola­ning absissalari bo‘lgan nuqtalari orqasidagi qismi.
◄ egri chiziq tenglama bilan aniqlanishini e’ti­bor­ga olib, integralni hisoblashda (6) formuladan foydala­na­miz:
.
integralda integrallash egri chizig‘i bo‘lib, (8) for­mu­laga ko‘ra

bo‘ladi. ►
2-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda egri chiziq ellipsning yuqori yarim tekislikdagi qismi.
◄Bu ellipsning parametrik tenglamasi

bo‘ladi. nuqtaga parametrning qiymati, nuq­ta­ga esa qiymati mos kelib, parametr dan gacha o‘zgarganda nuqta dan ga qarab ellipsning yuqori yarim tekislikdagi qismini chizadi. Ravshanki,

funksiyalar da uzluksiz. Berilgan integralni (5) formuladan foydalanib hisoblaymiz:

. ►
3-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda yopiq chiziq va nuqta­lar­ni birlashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi hamda parabola yoyidan tashkil topgan yopiq egri chiziq (50-chizma).

50-chizma

Ravshanki,

kesmada bo‘lib, (9) formulaga ko‘ra

bo‘ladi.
yoyda bo‘lib, yana (9) formulaga ko‘ra

bo‘ladi. Demak,