6-ma’ruza. Ko’p o’zgaruvchili chiziqli regressiya Reja

6.3. Ko’p faktorli regression model qurish

To’la faktorli faol tajriba natijalari bo’yicha ko’p faktorli regression matematik model qurish jarayonini ko’rib chiqamiz.
Y=b₀+b₁x₁+...+b_ix_i+...+b_M x_M+b₁₂x₁x₂+...+b_M-1M x_M-1 x_M
ko’rinishdagi matematik model qurish bilan shug’ullanamiz. Bunda: x_i - faktorlarning kodlangan qiymatlari (i= ), b_i, b_ij - noma’lum koeffitsiyentlar, (i, j= ), X_oi - i-faktor natural qiymatining asosiy sathi; X_yui, X_qi - i-faktorning yuqori va quyi natural qiymatlari; I_i - i-faktorning o’zgarish intervali. 6.2 - va 6.3 - jadvallarda ikki faktorli va uch faktorli rejalashtirish matrisalari keltirilgan.
6.2 – jadval.

u	Faktorlar		Yuv				SShB
	X1	X2	Yu1	Yu2		Yum
1	-1	-1	Yu11	Yu12		Y1m	(1)
2	+1	-1	Yu21	Yu22		Y2m	A
3	-1	+1	Yu31	Yu32		Y3m	b
4	+1	+1	Yu41	Yu42		Y4m	Ab

6.2 - va 6.3 - jadvallarda SShB - satrlarni shartli belgilashni bildiradi. Bunda a, b, c,...lar x₁, x₂, x₃,... faktorlar yuqori sathdagi qiymatlarni qabul qilganligini bildiradi. Agar hamma faktorlar yuqori sathdagi qiymatni qabul qilsa (6.1) bilan belgilash kelishilgan.

Ko’p faktorli model qurish uchun , lar hisoblanib, so’ng 8 ta operasiya ketma-ket bajariladi. Bulardan 1-, 2-, 3-, 4-, va 8 - operasiyalar bir faktorli model qurishda ishlatilgan formulalar bo’yicha bajariladi.
6.3 –jadval.

u	Faktorlar				Yuv				SShB
	X1	X2	X3	Yu1			Yum
1	-	-	-	Yu11			Y1m	(1)
2	+	-	-	Yu21			Y2m	А
3	-	+	-	Yu31			Y3m	В
4	+	+	-	Yu41			Y4m	Ав
5	-	-	+	Yu51			Y5m	С
6	+	-	+	Yu61			Y6m	Ас
7	-	+	+	Yu71			Y7m	Вс
8	+	+	+	Yu81			Y8m	Авс

5 - operasiyada modelning ko’rinishi aniqlanadi. Modelni
Y=b₀+b₁x₁+...+b_ix_i+...+b_Mx_M+b₁₂x₁x₂+...+b_M-1Mx_M-1x_M
ko’rinishda qidiramiz. Agar model
Y=b₀+b₁x₁+...+b_ix_i+...+b_Mx_M
chiziqli ko’rinishda bo’lsa, yettinchi operasiyada model hadlarinining chiziqsiz qismi chiqarib tashlanadi.
6 - operasiyada regressiya koffisiyentlari quyidagi formulalar bo’yicha hisoblanadi:

ij
(i= ),

bunda N - sathlar kombinasiyalari soni.

7 - operasiyada regressiya koeffisentlarining ahamiyatliligi tekshiriladi. Bunda Styudent alomatidan foydalaniladi:
bunda,
Styudent alomatining t_x[Rd=0,95; f{ }=N(m-1)] qiymati qaraladi.
Agar t_xj tengsizlik bajarilsa, modelning tekshirilayotgan koeffitsiyenti ahamiyatli emas deb faraz qilinadi.
Misol. 6.4 - jadvalda keltirilgan rejalashtirish matrisasi ma’lumotlari bo’yicha uch faktorli matematik model qurilsin.
6.4 -jadval

u	Faktorlar			Yuv								Vuҳmin		Vuҳmax		Wҳ
	Х1	Х2	Х3		Yu1	Yu2	Yu3
1	-1	-1	-1		8	11	8		9		3		0,7		1,4		1,1
2	+1	-1	-1		13	15	11		13		4		1,2		1,2		2,0
3	-1	+1	-1		14	16	12		14		4		1,2		1,2		2,0
4	+1	+1	-1		20	18	16		18		4		1,2		1,2		2,0
5	-1	-1	+1		16	15	14		15		1		1,2		1,2		2,0
6	+1	-1	+1		22	20	18		20		4		0,6		0,6		2,0
7	-1	+1	+1		17	18	13		16		7		0,51		0,38		1,8
8	+1	+1	+1		21	19	17		19		4		0,6		0,6		2,0

Yechish: , hamda 1-, 2- operasiyalarning natijalari 6.4 - jadvalning o’ng tomonida keltirilgan.
V_j[0,95;3]=1,412 va W_j[0,95;3]=0,767 lar berilgan. u=1,2,...,8 qiymatlar uchun V_uxminj, V_uxmaxj, W_х>W_j, tajribaviy ma’lumotlarning eng kichik va eng katta qiymatlari chiqarib yuborilmaydi, ular normal qonunga bo’ysunadi.
3-operasiya. Kochren mezonining hisoblangan qiymatini topamiz:

G_j[Rd=0,95; f{ }=m-1=2; N=8]=0,516. G_хj bo’lgani uchun dispersiyalar bir jinslidir.

4-operasiya. O’rtacha dispersiyani hisoblaymiz.

5-operasiya. Noma’lum modelni
Y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+b₁₂x₁x₂+ b₁₃x₁x₃+ b₂₃x₂x₃
ko’rinishida qidiramiz.
6-operasiya. Bu operasiyada noma’lum regressiya koeffitsiyentlarini aniqlaymiz.


Natijada, quyidagi ko’p faktorli regression modelga ega bo’lamiz:
Y=15,5+2x₁+1,25x₂+2x₃ - 0,25x₁x₂ - 1,25x₂x₃.
7-operasiya. Model koeffitsiyentlarining ahamiyatliligini aniqlash uchun Styudent mezonini hisoblaymiz:



Stpyudent mezonining jadval qiymatini topamiz:
t_x[Rd=0,95; f=8(3-1)=16]=2,12. t_х va t_j larni solishtiramiz,ya’ni t_хj bo’lgani uchun b₃ va b₁₂ koeffitsiyentlarning ahamiyatsiz ekanligini hisobga olib ular tashlab yuboriladi. U holda modelning oxirgi ko’rinishi
Y=15,5+2x₁+1,25x₂+2x₃-1,25x₂x₃
bo’ladi.


6.3. Ko’p o’zgaruvchili chiziqli regressiya uchun
kichik kvadratlar usuli

Chiziqlimas regressiya bo’lgan xollarda regression model qurish asosi bo’lib eng kichik kvadratlar usuli hisoblanadi. Biroq bu xolda parametrlar bahosini qidirishda (parametrlarga nisbatan) chiziqlimas tenglamalar sistemasi quriladi, uni yechish uchun turli iterasiya usullari qo’llaniladi.

Kichik kvadratlar usuli. Masala
y_i = ax_i+b
chiziqli bog’liqlikning koyeffisiyentlarini topishdan iborat, bunda a va b o’zgaruvchilarning funksiyasi eng kichik qiymat qabul qiladi:

Ya’ni a va b ning qiymatlarida tajriba natijalari asosida topilgan chiziqdan chetlanishlari kvadratlarining yig’indisi eng kichik bo’ladi. Eng kichik kvadratlar usuli shundan iborat.
Shunday qilib masalaning yechimi ikki o’zgaruvchili funksiyaning ekstremumini topishga keltiriladi.
Misol. X va Y uzgaruvchilarning tajriba natijasida olgan qiymatlari quyidagi 6.5-jadvalda keltirilgan.
6.5-jadval.

	0	1	2	3	5
	2,1	2,4	2,6	2,8	3,0

Ularni tenglashtirib quyidagi funksiyaga ega bo’lamiz
.
Eng kichik kvadratlar usulini qo’llab bu qiymatlarga yaqinlashuvchi y=ax+b chiziqli bog’lanish uchun a va b parametrlarni toping.
Funtsiyadan a va b parametrlar bo’yicha xususiy hosila olamiz
.

Hosil bo’lgan ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasini yechamiz.

Topilgan a va b qiymatlarda funksiya eng kichik qiymatga erishadi (6.6 - jadval).
6.6-jadval.

i	1	2	3	4	5
	0	1	2	3	5	11
	2,1	2,4	2,6	2,8	3,0	12,9
	0	2,4	5,2	8,4	15,0	31,0
	0	1	4	9	25	39

a va b qiymatlarini qo’yib, yaqinlanish chiziqqa ega bo’lamiz.
Masala. Firma maxsulotlarni shahar ichidagi yaqin masofalarga tarqatadi. Bunday xizmatlarni tashish vaqtga bog’liq holda baholanadi. Tashish vaqtiga eng ko’p ta’sir qiladigan omil sifatida o’tilgan masofa belgilangan.
6.7 - jadval.

i		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	Masofa - km.	3,5	2,4	4,9	4,2	3,0	1,3	1,0	3,0	1,5	4,1
Y	Vaqt - minut	16	13	19	18	12	11	8	14	9	16

.

Qidirilayotgan regression bog’liklik quyidagicha bo’ladi.

Regressiya chizig’ining qiyaligi 2,66 min/km, bu 1 km masofaga ketadigan vaqt. To’g’ri chiziqning Y o’qi bilan kesishgan nuqtasi 5,913 minut - bu o’tilgan masofaga bog’liq bo’lmagan vaqt.
6.8.- jadval.

№	Regressiya natijasi		Kirish signallari	Funksiya qiymati (Chiqish signallari)	Tajriba natijasi	Adekvatlik
	a	b	xi	yi
1	2,66	5,913	3,5	15,223	16	4,85625
2	2,66	5,913	2,4	12,297	13	5,407692
3	2,66	5,913	4,9	18,947	19	0,278947
4	2,66	5,913	4,2	17,085	18	5,083333
5	2,66	5,913	3	13,893	12	15,775
6	2,66	5,913	1,3	9,371	11	14,80909
JAMI				86,816	89	46,21031
O’rtacha qiymat				17,3632	17,8	8,736

Normal taqsimlangan jarayonlar uchun taxminan 91,2% nuqtalar regressiya chizig’idan standart chetlanish doirasida bo’ldi va bu chetlanish bizni qoniqtiradi.

Tayyor maxsulotlarni ishlab chiqishni kelgusi yil (yoki yillar) uchun rejalashtirish muhim iqtisodiy masalalardan biridir. Bu oldingi yillarda erishilgan natijalar asosida aniqlanadi va mavjud ma’lumotlarga asoslanib matematikaning eng kichik kvadratlar usuli yordamida tayyor maxsulotlarni ishlab chiqishni rejalashtirish masalasiga bag’ishlanadi.
Amaliyotda ko’pincha rejalashtirlayotgan maxsulotlarni ishlab chiqish
(6.3)
ko’rinishdagi bog’liqlik funksiya yordamida qidiriladi. Bu erda -vaqtning dastlabki paytidagi maxsulotlarni ishlab chiqish, - qo’shiladigan o’rtacha maxsulotlarni ishlab chiqish - yil.
(6.3) formuladan ko’rinadiki rejalashtirlayotgan maxsulotlarni ishlab chiqish “X” ning chiziqli funksiyasidan iborat bo’lib, uning grafigi to’g’ri chiziq bo’ladi. Ammo turli faktorlarga ko’ra masalan ob-havo, xolatlar va boshqa sabablarga ko’ra aslida olingan maxsulotlar rejalashtirilgan maxsulotlarni ishlab chiqishdan farq qiladi.
Aslida etishtirilgan va rejalashtirilgan maxsulotlarni ishlab chiqishlar orasidagi farqni analitik ifodasini ko’rinishda yozish mumkin.
Eng kichik kvadratlar usulini mohiyatiga ko’ra va noma’lum parametrlar shunday tanlanishi kerakki, ifoda eng kichik qiymatga ega bo’lsin. va parametrlarni qiymati ushbu sistemani yechimidan aniqlanadi:
(6.4)
(6.5)
Haqiqatan ham ikki o’zgaruvchili funksiyani va lar bo’yicha xususiy hosilalarini nolga tenglash natijasida ya’ni , dan quyidagi
(6.6)
sistema hosil bo’ladi. Bundan esa (6.5) sistema o’rinli ekanligi kelib chiqadi.