6-Ma’ruza: Matrisaning xos son va xos vektorlarni topish Reja

Minimal ko’phadni topish. Endi A.N.Krilov metodini ko’rib chiqamiz. Ixtiyoriy noldan farqli vektorni olib,
(11.11)
vektorlar ketma-ketligini tuzamiz. Yuqorida aytganimizdek, bu vektorlar orasida
(11.12)
chiziqli kombinasiya mavjuddir. Agar buni koordinatalarda yozib olsak, larni topish uchun quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:
(11.13)
Bu sistemaning determinanti

faqat vektorlar chiziqli erkli bo’lgandagina noldan farqlidir, chunki bu determinantning ustunlari shu vektorlar koordinatalaridan tuzilgan.

Agar Gauss metodining to’g’ri yurishidagi barcha qadam bajarilib, (11.13) sistema quyidagi
(11.14)
uchburchak shaklga keltirilsa, u holda bo’lib, vektorlar chiziqli erklidir. U vaqtda (11.14) sistemadan qaralayotgan kombinasiyaning koeffnsiyentlari ni topa olamiz.
Agar Gauss metodidagi to’g’ri yurishning faqat ta qadami bajarilsa, u holda faqat avvalgi ta torlar chiziqli erkli bo’ladi. Kerakli

chiziqli kombinasiyani koordinatalarda yozib olamiz:

(11.15)
Bu sistemadan Gauss metodi yordamida ta chiziqli erkli tenglamalarni ajratib olib, kogffisiyentlarki topamiz.
Shunday qilib, biz bo’lganda A matrisaning xos ko’phadini va bo’lganda uning bo’luvchisini topishimiz mumkin. Avval bo’lgan holni ko’raylik. Bu xolda (11.12) chiziqli kombinasiyaning koeffisiyentlari

xos ko’phadning mos ravishda koeffisiyentlariga teng:

.
Haqiqatan ham, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra
.
Bu tenglikni vektorga ko’paytirib va

larni hisobga olib,

ga ega bo’lamiz. Bu tenglikni (11.12) dan ayirib,
(11.16)
ni hosil qilamiz.
vektorlar chiziqli erkli bo’lganligi uchun (11.16) tenglik faqat bo’lgandagina bajariladi.
Demak, bo’lganda qurilgan chiziqli kombinasiyaning ko’rinishiga qarab, A matrisaning xos ko’phadini yozish mumkin. tenglamani yechib matrisaning barcha xos sonlarini topamiz. Agar bo’lsa, qurilgan chiziqli kombinasiya
(11.17)
ko’rinishga ega bo’dadi. Endi larni hisobga olib (2.10) tenglikni

yoki

ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda
.
Demak, izlanayotgan kombinasiyaning koeffisiyentlari vektorning minimal ko’phadi ning koeffisiyentlaridir. Bunday ko’phad vektorlar chiziqli erk-li bo’lganligi uchun yagonadir.
Shunday qilib, bo’lganda biz ning bo’luvchisini topamiz va tenglamani yechib, matrisaning bir qism xos sonlarini topamiz. Dastlabki vektorni boshqacha tanlab, qolgan xos sonlarni ham topish mumkin. Shu bilan birga yangi tanlangan vektor oldin aniqlangan vektorlarning chiziqli kombinasiyasi bo’lmasligi kerak.