6-Ma’ruza: Matrisaning xos son va xos vektorlarni topish Reja

A.N.Krilov metodi.
Akademik A.N.Krilov 1931 yilda xos sonlar muammosini yechishning qulay metodini yaratadi. U o’z metodining g’oyasini tushuntirish uchun berilgan matrisa bilan bog’liq bo’lgan oddiy differensial tenglamalar sistemasini kiritadi va uning ustida almashtirish olib boradi. Bu almashtirishning algebraik mohiyatini aniqlash bilan N.N.Luzin, I.N.Xladovskiy, F.R.Gantmaxer, D.K.Faddevlar shug’ullanishgan.Biz bu yerda A.N.Krilov metodining manna shu algebraik interpretasiyasini ko’rib chiqamiz.
Matrisalarning minimal ko’phadlari. Avval chiziqli algebradan ayrim ta’rif va teoremalarni keltiramiz. Agar kvadrat matrisa uchun

tenglik o’rinli bo’lsa, u holda

ko’phad matrisa uchun nolga aylantiruvchi ko’phad deyiladi. Faqat keltirilgan, ya’ni bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan ko’phadlarni qaraymiz. Bunday ko’phadlarning to’plami bo’sh emas, Gamilton-Keli teoremasiga ko’ra matrisaning xos ko’phadi uning nolga aylantiruvchi ko’phadlaridir: . Demak, -tartibli ixtiyoriy kvadrat matrisa uchun -darajali nolga aylantiruvchi ko’phad mavjud. Bunday ko’phad yagona emas, chunki agar ga bo’linadigan har qanday boshqa ko’phad ham nolga aylantiruvchi ko’phad bo’ladi. matrisani nolga aylantiruvchi ko’phadlar orasida eng kichik darajaga ega bo’lgan yagona ko’phad mavjud. Bu ko’phad matrisaning minimal ko’phadi deyiladi. Har qanday nolga aylantiruvchi ko’phad, shu jumladan matrisaning xos ko’phadi ham minimal ko’phadga bo’linadi. Minimal ko’phadning ildizlari xos ko’phadning barcha bir-biridan farqli ildizlaridan iboratdir.
Yana quyidagi tushunchani kiritamiz. Faraz qilaylik, biror vektor bo’lsin. Ma’lumki, o’lchovli fazoda tadan ortiq chiziqli erkli vektor bo’lishi mumkin emas. Shuning uchun
(11.8)
vektorlar orasida chiziqli bog’lanish mavjuddir. Hattoki, ixtiyoriy vektor uchun ham
(11.9)
chiziqli bog’lanish mavjud. Demak, matrisaning minimal ko’phadining darajasi dan kichik bo’lsa, (11.8) sistemada chiziqli erkli vektorlarning soni dan kichikdir. Berilgan vektor uchun
(11.10)
tenglikni qanoatlantiradigan ko’phadlar orasida bosh koeffisiyenti birga teng bo’lgan eng kichik darajali yagona ko’phad mavjudki, uning uchun

tenglik o’rinli bo’ladi. Bunday ko’phad vektorning minimal ko’phadi deyiladi va u (11.10) tenglikni qanoatlantiruvchi ko’phadning bo’luvchisi bo’ladi. Xususiy holda, ixtiyoriy vektorning minimal ko’phadi matrisa minimal ko’phadi ning bo’luvchisi bo’ladi. Agar (11.8) sistemada vektorlar chiziqli erkli bo’lib, ularga chiziqli bog’liq bo’lsa,

,
u holda

ko’phad matrisaning minimal ko’phadi ga yoki uning bo’luvchisi ga teng.