7-amaliyot mashg`uloti. Tekis chegaralanganlik prinsipi

2. Tekis chegaralanganlik prinsipi
Banax-Shteynxaus teoremasi yordamida ko‘rsatish mumkinki, agar va lar Banax fazolari bo‘lsa, u holda fazo kuchli yaqinlashishga nisbatan ham to‘la bo‘ladi.
1-teorema. (Banax-Shteynxaus yoki tekis chegaralanganlik prinsipi). Agar chiziqli uzluksiz operatorlarning ketma-ketligi Banax fazosining har bir nuqtasida chegaralangan (ya’ni har bir uchun shunday mavjud bo‘lib, ixtiyoriy uchun
(5)
tengsizlik o‘rinli) bo‘lsa, u holda bu operatorlarning normalaridan tuzilgan sonli ketma-ketlik ham chegaralangan bo‘ladi.
Isbot. Avvalo (5) shart bajarilganda shunday

yopiq shar mavjud bo‘lib, bu sharda ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishini (ya’ni shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyotiy va barcha larda tengsizlik bajarilishini) ko‘rsatamiz. Teskaridan faraz qilaylik, ya’ni ketma-ketlik birorta ham yopiq sharda chegaralangan bo‘lmasin. Ixtiyoriy shar olamiz. ketma-ketlik sharda chegaralanmagan bo‘lgani uchun shunday element va nomer mavjudki, bo‘ladi. operatorning uzluksizligidan bu tengsizlik sharda ham bajariladi. sharda ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘lgani uchun shunday element va nomer mavjudki, shart bajariladi. ning uzluksizligidan bu tengsizlik sharda ham bajariladi va hokazo k-chi qadamda sharning nuqtasida shart bajariladi. ning uzluksizligidan bu tengsizlik sharda ham bajariladi. Demak, ichma-ich joylashgan va radiuslari nolga intiluvchi

yopiq sharlar ketma-ketligining barchasiga qarashli bo‘lgan element mavjud va barcha larda tengsizlik bajariladi. Bu esa (5) ga zid. Shunday qilib, ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladigan yopiq shar mavjud. Ixtiyoriy uchun nuqta sharda yotadi. Shuning uchun, ixtiyoriy n da . Endi tenglikdan foydalansak,

U holda
. ∆