2-teorema.Agar va lar Banax fazolari bo‘lsa, u holda operatorlar fazosi kuchli yaqinlashishga nisbatan to‘ladir. Isbot. Istalgan da ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun, har bir da mavjud va biz = tenglik bilan aniqlanuvchi operatorga ega bo‘lamiz. Bu operatorning chiziqliligi 4.1-teoremada isbotlangan edi. Endi uning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz. Har bir da ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun, u chegaralangandir. Banax-Shteynxaus teoremasiga ko‘ra, ixtiyoriy da o‘rinli. Bundan
.
Demak, .
3. Tekis chegaralanganlik prinsipi tadbiqiga doir misollar 1.Quyidagi
operatorlar ketma-ketligi Banax-Shteynxaus teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi?
Yechish. operatorlar ketma-ketligi Banax-Shteynxaus teoremasi shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, va lar Banax fazolari. ning chegaralangan ekanligi oson tekshiriladi. Har bir nuqtada chegaralangan ekanligi
dan kelib chiqadi.
2. fazo kuchli yaqinlashishga nisbatan to‘la fazo bo‘ladimi?
Yechish., lar to‘la fazolar bo‘lganligi uchun 29.2-teoremaga ko‘ra fazo kuchli yaqinlashishga nisbatan to‘la fazo bo‘ladi.
