7-amaliyot mashg`uloti. Tekis chegaralanganlik prinsipi

7-amaliyot mashg`uloti. Tekis chegaralanganlik prinsipi.
Biz 4-ma’ruzada chiziqli uzluksiz (chegaralangan) operatorlar fazosi ning to‘laligi haqidagi teoremani isbotlagan edik (1-teorema). Ushbu ma’ruzada Banax-Shteynxaus teoremasi (tekis chegaralanganlik prinsipi) isbotlaymiz va uning yordamida va lar Banax fazolari bo‘lgan holda) chiziqli uzluksiz operatorlar fazosi - ning kuchli yaqinlashishga nisbatan ham to‘la bo‘lishligi ko‘rsatamiz.

1. 
   To’la va to’la bo’lmagan operatorlar fazosiga misollar
   

1. fazoni to‘lalikka tekshiramiz.
Yechish. to‘la fazo bo‘lganligi uchun 4.1-teoremaga ko‘ra to‘la fazo, ya’ni Banax fazosi bo‘ladi.
2. fazo uchun 4.1-teorema sharti bajariladimi? U to‘lami?
Yechish. fazo to‘la bo‘lmagan normalangan fazo bo‘lganligi uchun 4.1-teorema sharti bajarilmaydi. Shuning uchun biz fazoni to‘la fazo deya olmaymiz. Aniqlik uchun deymiz va fazoning to‘la emasligini ko‘rsatamiz. Buning uchun fazoning to‘la emasligini ko‘rsatishda qo‘llanilgan uzluksiz funksiyalarning
(1)
ketma-ketligidan foydalanib, operatorlar ketma-ketligini quyidagicha quramiz:
. (2)
operatorning chiziqli va uzluksizligi oson tekshiriladi. operatorlar ketma-ketligining fazoda fundamental ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun normani hisoblaymiz:
. (3)
(3) va

ekanligidan foydalansak,
(4)
tengsizlikni olamiz. ketma-ketlikning fazoda fundamentaldir. (4) dan hamda ketma-ketlikning fundamentalligidan operatorlar ketma-ketliginining fundamentalligi kelib chiqadi. Lekin operatorlar ketma-ketligi fazoda yaqinlashuvchi emas. Teskaridan faraz qilaylik, operatorlar ketma-ketligi biror operatorga yaqinlashsin. U holda ixtiyoriy uchun tenglik o‘rinli. Ikkinchidan uchun

tenglik o‘rinli va deylik. ketma-ketlik birorta ham uzluksiz funksiyaga fazo normasida yaqinlasha olmaydi, jumladan ketma-ketlik funksiyaga ham yaqinlasha olmaydi. Bu qarama qarshilik operatorlar ketma-ketligining yaqinlashuvchi emasligini bildiradi. Demak, to‘la bo‘lmagan normalangan fazo ekan.