7-mavzu. Chiziqsiz dasturlash masalalari 1-ma’ruza rejasi

2 – misol.
x₁ ^. x₂ 4,
x₁ + x₂ 5,
x₁ 7,
x₂ 6,
x₁ 0, x₂ 0,
Z = x₁² + x₂²  max(min).
Bu masalaning mumkin bo’lgan rejalar to’plami qavariq to’plam bo’lmaydi, aksincha, ikkita ayrim K₁ va K₂ qismlardan iborat bo’ladi (6 - shakl). Maqsad funktsiya o’zining minimal qiymati Z=17 ga A(1,4) va L(4,1) nuqtalarda erishadi. va nuqtalarda esa funktsiya mahalliy maksimum qiymatlarga erishadi:

.

6-shakl
Xuddi shuningdek, N nuqta x₁=7 to’qri chiziq va x₂=4/x₁ egri chiziqning kesishgan nuqtasi bo’lgani uchun uning x₁⁰,x₂⁰ koordinatalari bu tenglamalarni qanoatlantirish kerak, ya’ni

3-misol. x₁+x₂ 6,
x₁-x₂ 1,
2x₁+x₂ 6,
0,5x₁-x₂ -4,
x₁ 1, x₂ 0,
Z=100(x₁-3,5)²+(x₂-4)²min.
Masalaning rejalaridan tashkil topgan to’plam ABCD to’rtburchakdan iborat (7.7-shakl).
7- shakl.

Z ga ixtiyoriy Q (Q0) qiymat beramiz. Natijada 10(x1-3,5)^2+ +20(x2-4)^2=Q tenglama markazi M(3,5;4) nuqtada bo’lgan ellipsni ifodalaydi. Q ning qiymatini o’zgartirib borib,ellip sni o’ziga paralel ravishda siljitib borish mumkin. Natijada 7.7-shakldan ko’rish mumkinki,ellipsning qavariq to’plam ABCD ga uringan E(x1^* ,x2^*) nuqtasi optimal nuqta bo’ladi. Bu nuqtadagi Z funktsiyaning qiymatini Z^* bilan belgilaymiz. x1^* ,x2^*,Z^*1 noma’lumlar quyidagi shartlarni qanoatlantirishi kerak: x1^* +x2^* =6, Z^*=10(x1^* -3,5)^2+20(x2^*-4)^2.

Bundan tashqari 10(x₁^*-3,5)²+20(x₂^*-4)² ellipsning (x₁^* ,x₂^*) nuqtadagi urinmasi oqish burchagining tangensi esa -1 ga teng, chunki bu urunma x₁+x₂=6 to’g’ri chiziq bilan ustma – ust tushadi. Bu to’g’ri chiziq og’ish burchagining tangensi esa – 1 ga teng. Ikkinchi tomondan,

Z^*=10(x₁^* -3,5)²+20(x₂^*-4)².

Ellipsga urunma oqish burchagining tangensini

formula orqali topish mumkin. Demak,

ya’ni
x^*₂-4=0,5(x^*₁-3,5).

Shunday qilib, masalaning optimal yechimi quyidagi sistemaning yechimidan iborat bo’ladi:

