8-ma’ruza. Normalangan fazoning qism fazosi va faktor fazosi (2 soat) Darsning rejasi

26.11. fazolarni to‘lalikka tekshiring.
Yechish. To‘la metrik fazolar (3-paragraf) mavzusidan ma’lumki , , lar to‘la metrik fazolar edi. Shuning uchun ular to‘la normalangan fazolar, ya’ni Banax fazolari bo‘ladi.
26.12. to‘la bo‘lmagan metrik fazo edi. Shuning uchun to‘la bo‘lmagan normalangan fazoga misol bo‘ladi.


Normalangan fazoning qism fazosi. Biz yuqorida chiziqli fazoning qism fazosi tushunchasini kiritgan edik, ya’ni agar ixtiyoriy elementlar va ixtiyoriy sonlar uchun bo‘lsa, bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plam, qism fazo deyilar edi.
Normalangan fazolarda yopiq qism fazolar, ya’ni barcha limitik nuqtalarini o‘zida saqlovchi qism fazolar muhim ahamiyatga ega. Chekli o‘lchamli normalangan fazolarda har qanday qism fazo yopiqdir. Cheksiz o‘lchamli normalangan fazolarda qism fazolar doim yopiq bo‘lavermaydi. Quyida keltiriladigan misol fikrimizni tasdiqlaydi.
26.13. Uzluksiz funksiyalar fazosi dagi barcha ko‘phadlar to‘plami qism fazo tashkil qiladi, lekin u yopiq emas. Bunga ishonch hosil qilish uchun

ko‘phadlar ketma-ketligini qaraymiz. Ravshanki, fundamental ketma-ketlik bo‘lib, uning limiti ga teng. funksiya esa ko‘phad emas.
Normalangan fazolarda asosan yopiq chiziqli qism fazolarni qaraymiz. Shuning uchun 5-§ da kiritilgan qism fazo atamasiga o‘zgartirish kiritish tabiiydir.
26.6-ta’rif. Agar normalangan fazoning qism to‘plamida ixtiyoriy elementlar va ixtiyoriy sonlar uchun bo‘lsa chiziqli ko‘pxillilik deyiladi. Agar qism to‘plam yopiq chiziqli ko‘pxillilik bo‘lsa, qism to‘plam ning qism fazosi deyiladi.
26.14. Uzluksiz funksiyalar fazosi dagi barcha toq funksiyalar to‘plami chiziqli ko‘pxillilik tashkil qiladi va u yopiq. Haqiqatan ham, toq funksiyalar ketma-ketligi biror elementga yaqinlashsin. U holda
.
26.15. kesmada aniqlangan va shartni qanoatlantiruvchi o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar to‘plamini bilan belgilaymiz. Ma’lumki, to‘plam fazoning qism fazosi, ya’ni yopiq chiziqli ko‘pxillilik bo‘ladi. fazoda norma quyidagicha kiritiladi:
(26.4)
va u norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, to‘plam - chiziqli normalangan fazo bo‘ladi.
26.16. kesmada aniqlangan va shartni qanoatlantiruvchi absolyut uzluksiz funksiyalar to‘plamini bilan belgilaymiz. Ma’lumki, to‘plam fazoning (26.15-misolga qarang) qism fazosi bo‘ladi. Shuning uchun bu fazoda ham elementning normasi (26.4) tenglik bilan aniqlanadi va to‘plam-chiziqli normalangan fazo hosil qiladi.