8-ma’ruza. Normalangan fazoning qism fazosi va faktor fazosi (2 soat) Darsning rejasi

Normalangan fazoning faktor fazosi. Bizga normalangan fazo va uning qism fazosi berilgan bo‘lsin. faktor fazoni qaraymiz va unda normani quyidagicha aniqlaymiz. Har bir qo‘shni sinfga
(26.5)
sonni mos qo‘ysak, bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, faktor fazo ham normalangan fazo bo‘lar ekan.
Agar to‘la normalangan fazo bo‘lsa, faktor fazo ham normaga nisbatan to‘la fazo bo‘ladi .
26.17-misol. Faktor fazoga misol keltirishni tushunish nisbatan osonroq bo‘lgan fazodan boshlaymiz. fazoning xos qism fazosi ni qaraymiz va faktor fazoning elementlarini, ya’ni qo‘shni sinflarning tavsifini beramiz. Ma’lumki, bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Demak, faktor fazoning elementlari tekislikka parallel bo‘lgan tekisliklardan iborat. Masalan, nuqtani o‘zida saqlovchi qo‘shni sinf tekisligiga parallel bo‘lgan tekislikdan iborat. Bu faktor fazoda elementning normasi

tenglik bilan aniqlanadi. Bu faktor fazoning o‘lchami 1 ga teng va u to‘la normalangan fazo.
26.18. faktor fazoni qaraymiz. Agar dan olingan har bir qo‘shni sinfga uning ixtiyoriy vakili yordamida aniqlanuvchi va vakilning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmagan
(26.6)
sonni mos qo‘ysak, bu moslik da norma aniqlaydi va , chiziqli normalangan fazoga aylanadi. Bu fazo kesmada aniqlangan va - chi darajasi bilan Lebeg ma’nosida integrallanuvchi ekvivalent funksiyalar fazosi deb ataladi. Barcha larda fazo to‘la normalangan fazo, ya’ni Banax fazosi bo‘ladi .
26.19. O‘zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi ni qaraymiz. Unda o‘zgarmas funksiyalardan iborat bir o‘lchamli qism fazoni olamiz. Endi chiziqli fazoning qism fazo bo‘yicha faktor fazosini qaraymiz. Faktor fazo ta’rifiga ko‘ra elementlar bitta qo‘shni sinfda yotishi uchun bo‘lishi zarur va yetarli. Boshqacha aytganda element elementni saqlovchi qo‘shni sinfda yotishi uchun ko‘rinishda tasvirlanishi zarur va yetarli. Ma’lumki, har qanday faktor fazoda elementning normasi quyidagicha aniqlanadi:
. (26.7)
O‘zgarishi chegaralangan funksiyalar xossalaridan ma’lumki, istalgan o‘zgarmas uchun

tenglik o‘rinli. ning aniq quyi chegarasi esa nolga teng. Bulardan foydalanib, (26.7) ni quyidagicha yozish mumkin:
. (26.8)
Shunday qilib qo‘shni sinfga, shu sinfning nuqtada nolga aylanuvchi elementini mos qo‘yish bilan faktor fazo va (26.15-misolga qarang) fazolar o‘rtasida izomorfizm o‘rnatiladi. Demak, va fazolar o‘zaro izomorf ekan.
26.20. 7.6-misolda keltirilgan qism fazoni qaraymiz. yopiq qism fazo bo‘ladi (mustaqil isbotlang). faktor fazoda elementning normasi quyidagicha aniqlanadi:
. (26.9)
Banax fazosi bo‘lganligi uchun, faktor fazo ham Banax fazosi bo‘ladi.
26.21. Shuni ta’kidlash lozimki, , fazolar to‘la normalangan fazolar, ya’ni Banax fazolari bo‘ladi. Ma’lumki, har qanday normalangan fazoni metrik fazo sifatida qarash mumkin. Agar biz , to‘la bo‘lmagan metrik fazoni to‘ldirsak, uning to‘ldirmasi , fazo bo‘ladi.