8-Mavzu: Populyatsiya chiziqsiz modelining uch turdagi rejimi. Reja

---

8-Mavzu: Populyatsiya chiziqsiz modelining uch turdagi rejimi.
 
Reja: 
1.
Maltus va Ferhulst-Pirl modellari 
2.
Populyatsiya chiziqsiz modelining uch turdagi rejimi
 
O'zaro ta'sir qiluvchi populyatsiyalar dinamikasini matematik tavsiflash 
muammolari uzoq tarixga ega. 
Tomas Maltusning
ishida birinchi marotaba barcha 
o'sish modellari asosida aholi zichligining o'sish sur'ati aholi zichligiga mutanosib 
bo'lgan degan asosiy taxminlardan birini shakllantirdi. Tavsiya etilgan modelga 
muvofiq, har qanday tur, hech qanday cheklovlarsiz, o'z sonini eksponentsial 
qonuniyat bilan oshiradi, ya'ni 
dx
mx
dt

Bunda x – tur zichligi, m – populyatsiya o’sish ko’rsatkichi. 
Maltus modeli aholining o'sishiga to'sqinlik qiladigan omillarni, masalan, 
cheklangan resurslarni yoki yashash joyining hajmini hisobga olmaydi. 
Pyer 
Fransua Ferhulst
aholi sonining o'sishining pasayishini hisobga olgan holda 
logistik o'sish tenglamasini taklif qildi: 

---

(1
)
dx
mx
xK
dt


Bu erda K - mavjud resurs bilan belgilanadigan ekologik joyning cheklangan 
quvvati (maksimal aholi zichligi). Biologik populyatsiyalarning dinamikasini 
tavsiflash uchun Raymond Pirl logistik o'sish qonunidan foydalangan. Keyinchalik 
bu tenglama 
Ferhulst-Pirl tenglamasi deb nomlandi.
Eng sodda evolyutsion model bu populyatsiya dinamikasi modeli (Maltus 
modeli). 
Matematik model 
Matematik model birinchi darajali chiziqli differentsial tenglama uchun 
Koshi masalasidir. 

---

bu erda N (t) - aholi soni, α (t) - ko'payish koeffitsiyenti, β (t) - o'lim 
koeffitsiyenti. Ushbu tenglama o'zgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechiladi. 
Yechim: 
Tenglamani integrallab, quyidagi yechimni olamiz 
Olingan yechim tahlili quyidagilarni ko’rsatadi: 
agar α > β bo’lsa, populyatsiya soni cheksiz o’sadi; 
agar α < β bo’lsa, populyatsiya soni kamayadi; 
agar α = β bo’lsa, populyatsiya soni o’zgarmayadi. 
Agar koeffitsiyentlar vaqtga bog’liq bo’lsa, o’sish surati boshqacha bo’ladi. 
Misol uchun,

---

bo’lsin, u holda yechim
ga teng bo’ladi. 
2.1
rasmda 
ushbu bog'liqlikning xarakteristikasi N
0
= 50 
uchun keltirilgan. 
Model cheklovlari 
Modelda boshqa populyatsiyalar bilan cheklangan resurslar va raqobat 
omillari hisobga olinmaydi, ammo a (t) va β (t) funksiyalarini tanlash orqali ushbu 
omillar qisman hisobga olinishi mumkin. Ferhulst tomonidan aniqroq model taklif 
qilingan. 
Populyatsiya dinamikasini ko'rib chiqishda tenglamani olish uchun dastlabki 
taxminlar quyidagicha: 
• boshqa shartlar bir xil bo’lganda, populyatsiyaning ko'payish tezligi uning 
hozirgi hajmiga proportsional; 
• boshqa shartlar bir xil bo’lganda, populyatsiyaning ko'payish tezligi 
mavjud bo'lgan resurslar miqdoriga proportsional. Shunday qilib, tenglamadagi 

---

ikkinchi had aholining o'sishini cheklaydigan resurslar uchun raqobatni aks 
ettiradi. 
Populyatsiya sonini P bilan belgilab (ekologiyada ko’pincha N belgisi 
ishlatiladi) va vaqtni – t bilan belgilasak, modelni quyidagi differentsial tenglama 
bilan ifodalash mumkin 
bu erda r parametri o'sish (ko'payish) tezligini bildiradi, va K - muhitning 
hajmi (ya'ni populyatsiyaning mumkin bo'lgan maksimal miqdori). Koeffitsientlar 
nomidan kelib chiqqan holda, ekologiyada turlarning o'zini tutishning ikkita 
strategiyasi ko'pincha ajratiladi: 
r -strategiya tez ko'payish va qisqa umr ko'rishni nazarda tutadi; 
• K-strategiyasi - ko'payish darajasi past va uzoq umr ko'rish. 
Tenglamaning aniq echimi (bu erda P
0
- boshlang'ich populyatsiya miqdori) 
logistik funktsiya bo’ladi, S shaklidagi egri chiziq (logistik egri chiziq): 
Ma'lumki, "yetarli miqdordagi resurslar" sharoitida, ya'ni P (t) K ga 
qaraganda ancha past bo'lsa, logistik funktsiya dastlab taxminan eksponentsial 
ravishda o'sib boradi: 

---

Xuddi shunday, resurslar tugaganda (t → ∞), farq K-P(t) bir xil ko'rsatkich 
bilan eksponentsial ravishda kamayadi. Nega Ferxulst tenglamani logistik deb 
ataganligi hanuzgacha noma'lum.