2-ta’rif:fazoning o’z-o’ziga izomorf akslanishi Aⁿ dagi affin almashtirish deb ataladi.
3-ta’rif: MN kesmani P nuqta nisbatda bo’lsa (ya’ni = bo’lsa), u holda son M,N,P nuqtalarning oddiy nisbati deb atalib, uni odatdagidek ko’rinishidagi belgilanadi.
Demak,=⇔4-xossani e’tiborga olsak , affin almashtirishda nuqta berilgan kesmani qanday nisbatda bo’lsa, uning obrazi ham berilgan kesma obrazini ham shu nisbatda bo’ladi, degan xulosaga kelamiz , demak ,affin almashtirishda uch nuqtaning oddiy nisbati saqlanadi.
5⁰. f affin almashtirishda k o’lchovli П tekislik ya’na k o’lchovli Пᵏ tekislikka almashadi,ya’ni tekislikning o’lchovi f uchun invariantdir.
5⁰. f affin almashtirishda k o’lchovli П tekislik ya’na k o’lchovli Пᵏ tekislikka almashadi,ya’ni tekislikning o’lchovi f uchun invariantdir.
Xususiy holda k=1 bo’lsa, affin almashtirishda to;g;ri chiziq ya’na to’g’ri chiziqqa almashadi.
6⁰. f affin almashtirishda parallel tekisliklar ya’na parallel tekislikka o’tadi.
Bu xossa affin almashtirishning o’zaro bir qiymatli ekanligi kelib chiqadi.
Affin almashtirishlar gruppasi.
Ma’lumki , almashtirishlar to’plamining gruppani hosil qilishi uchun quyidagi ikki shart bajarilishi mumkin.
1.Shu to’plamdagi ixtiyoriy ikki almashtirish ko’paytirish( kompozitsiyasi) ya’na shu to’plamga tegishli almashtirish.
2.Shu to’plamdagi har bir almashtirishga teskari almashtirish ham shu to’lamga tegishli.
Aⁿ ning barcha almashtirishlar to’plami A bilan belgilaylik .Bu to’plam bo’sh bo’lmasdan, balki uning elementlari avvalgi paragrifdagi mulohazamizga asosan cheksiz ko’pdir .A to’plamning elementlari yuqoridagi ikki shartni qanoatlantirishini ko’rsatamiz.
Ravshanki, f affin almashtirish bo’lsa, u bir juft Ɓ,Ɓ’ affin reperlarning berilishi bilan to’la aniqlanadi (affin almashtirish ta’rifiga asosan ) va aksincha.
1. Agar f affin almashtirish Ɓ,Ɓ’ reperlar bilan aniqlangan bo’lib, g affin almashtirish Ɓ’,Ɓ” reperlar bilan aniqlansa, u holda Ɓ,Ɓ” reperlar bilan aniqlangan affin almashtirish berilgan affin almashtirishlar ko’paytmasidan iborat:
