Algebra va analiz asoslari

33 – 35
):
33*.
1)
sin
;
x
xdx
∫
2) 
sin
;
x
xdx
∫
x
2
cos
xdx
; 3) 
ln
;
x xdx
∫
4)
ln
;
x xdx
∫
2 ln
.
x xdx
∫
34*.
1)
cos 2
;
x
xdx
∫
2) 
sin 3
;
x
xdx
∫
3) 
sin
;
3
x
x
dx
∫
4) 
cos
.
4
x
x
dx
∫
35*.
1) 
arcsin
;
xdx
∫
2
x
∙xdx
; 
2) 
arccos
;
xdx
∫
3
x
∙xdx
; 3) 
arcc tg .
xdx
∫
5
x
∙xdx
; 4) 
2
tg
nxdx
∫
;
5) 
1
1
2
5
10
x
x
x
dx
+
−
−
∫
; 6) 
3
1
1
x
x
e
dx
e
+
+
∫
;
7) 
2
(3 4 )
x
x
dx
+
∫
;
8) 
–
–2
(
)
x
x
e
e
dx
+
∫
; 9) 
4
2
1
1
x
x
e
dx
e
−
−
∫
; 10) 
x
x
e dx
e
π +
∫
;
11) 
2
x
x e dx
−
⋅
∫
;
12) 
x
x
dx
e
e
−
+
∫
; 13) 
2
ln
xdx
x
∫
.

---

96
97
44–46
ANIQ INTEGRAL. 
NYUTON–LEYBNIS FORMULASI
2-rasmda tasvirlangan shakl 
egri chiziqli trapetsiya
deyiladi. Bu 
shakl yuqoridan 
y 
= 
f
(
x
) funksiyaning grafigi bilan, quyidan [
a
, 
b
]
kesma bilan, yon tomonlardan esa 
x=a, x=b
to‘g‘ri chiziqlarning 
kesmalari bilan chegaralangan. [
a
;
 b
] kesma egri chiziqli trepetsiyaning 
asosi
deyiladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini qaysi formulaga ko‘ra hisoblaymiz, 
degan savol tug‘iladi.
Bu yuzni 
S
deb belgilaylik. 
S
yuzni 
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich 
funksiyasi yordamida hisoblash mumkin ekan. Shunga oid mulohazalarni 
keltiramiz.
2-rasm. 3-rasm.
[
a
; 
x
] asosli egri chiziqli trapetsiyaning yuzini 
S
(
x
) deb belgilay- 
miz (3-rasm), bunda 
x
shu [
a
; 
b
] kesmadagi istalgan nuqta: 
x
=
a
bo‘l- 
ganda [
a
; 
x
] kesma nuqtaga aylanadi, shuning uchun 
S
(
a
)=0; 
x
=
b
da
S
(
b
) = 
S.
S 
(
x
) ni
f
(
x
) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lishini, ya’ni 
S 
′(
x
) = 
f
(
x
) ekanini ko‘rsatamiz.

---

96
97
4-rasm.

S
(
x
+
h
) –
 S
(
x
) ayirmani ko‘raylik, bunda 
h
>0 (
h
<0 hol ham
xud di shunday ko‘riladi). Bu ayirma asosi [
x
; 
x
+
h
] bo‘lgan egri chiziqli 
trapetsiya ning yuziga teng (4-rasm). Agar 
h
son kichik bo‘lsa, u holda 
bu yuz taqriban 
f
(
x
) 
·
h
ga teng, ya’ni 
S
(
x
+
h
) –
S
(
x
) ≈ 
f 
(
x
) 
·
h
. Demak, 
(
)
( )
( ).
S x h S x
f x
h
+ −
≈
Bu taqribiy tenglikning chap qismi 
h
→0 da hosilaning ta‘rifiga ko‘ra 
S
′(
x
) ga intiladi. Shuning uchun 
h
→0 da 
S
′(
x
)=
f
(
x
) tenglik hosil
bo‘ladi. Demak, 
S
(
x
) yuz 
f 
(
x
) funksiya uchun boshlang‘ich funksiyasi
ekan.
▲
Boshlang‘ich funksiya 
S
(
x
) dan ixtiyoriy boshqa boshlang‘ich 
F
(
x
)
funksiya o‘zgar mas songa farq qiladi, ya’ni
F
(
x
)
=S
(
x
)
+C.
Bu tenglikdan 
x=a
da 
F
(
a
) 
= S
(
a
)
+C
va 
S
(
a
) = 0 bo‘lgani uchun
C=F
(
a
). U holda (1) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
S
(
x
)
=F
(
x
)
–F
(
a
)
. 
Bundan 
x=b
da 
S
(
b
)
=F
(
b
)
– F
(
a
)
 
ekanini topamiz.
Demak, 
egri chiziqli trapetsiyaning yuzini
(2-rasm) quyidagi formula 
yordamida hisoblash mumkin:
S=F
(
b
)
–F
(
a
), (2)
bunda 
F
(
x
) – berilgan 
f 
(
x
) funksiyaning istalgan boshlang‘ich funk-
siyasi.

---

98
99
Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyaning yuzini hisoblash 
f
(
x
) 
funksiyaning 
F
(
x
) boshlang‘ich funksiyasini topishga, ya’ni 
f
(
x
) funksiyani 
integrallashga keltiriladi. 
F
(
b
) 
– F
(
a
) ayirma 
f 
(
x
) funksiyaning [
a; b
] kesmadagi 
aniq integrali
deyiladi va bunday belgilanadi: 
( )
b
a
f x dx
∫
(o‘qilishi: “
a
dan
 b
gacha integral ef iks de iks“), ya’ni
( )
( )
( ).
b
a
f x dx F b F a
=
−
∫
(3)
(3) formula 
Nyuton–Leybnis formulasi
deb ataladi.
(2) va (3) formulaga muvofiq:
( ) .
b
a
S
f x dx
=
∫
(4)
Integralni hisoblashda, odatda, quyidagicha belgilash kiritiladi:
F
(
b
)
–F
(
a
)=
F
(
x
)
b
a
. U holda (3) formulani shunday yozish mumkin:
( ) .
b
a
S
f x dx
=
∫
= 
F
(
x
)
b
a
. (5)
Shu o‘rinda qisqacha 
tarixiy ma’lumotni
aytish joiz.
Egri chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblash masalasi
aniq integral tushunchasiga olib kelgan. Uzluksiz 
f 
(
x
) funksiya 
aniqlangan [
a
;
 b
] kesma 
a
=
x
0
, 
x
1
.., 
x
n
–1
, ... 
x
n
= b
nuqtalar yordamida o‘zaro 
teng [
x
k
;
 x
k
+1
] (
k
=0, 1, ... 
n
–1) kesmalarga bo‘lingan va har bir [
x
k
;
 x
k
+1
] kes-
madan ixtiyoriy ξ
k
nuqta olingan. [
x
k
; 
x
k
+1
] kesma uzunligi Δ
x
k
=x
k
+1
–
x
k
 
ni 
berilgan 
f 
(
x
) funksiyaning ξ
k
nuqtadagi qiymati
f
(ξ
k
) ga ko‘paytirilgan va 
ushbu
S
n
=
f 
(ξ
0
)Δ
x
0
+
f 
(ξ
1
)Δ
x
1
+...+
f 
(ξ
k–
1
)Δ
n
–1
(6) 
yig‘indisi tuzilgan, bunda har bir qo‘shiluvchi asosi Δ
x
k
va balandligi
f 
(ξ
k
) bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzidir. 
S
n
yig‘indi egri chiziqli
trapetsiyaning yuzi 
S
ga taqriban teng:
 S
n
≈
S
(5-rasm).

---

98
99
5-rasm.
(6) yig‘indi 
f 
(
x
) funksiyaning [
a
;
 b
] kesmadagi 
integral yig‘indisi
deyiladi. Agar 
n
cheksizlikka intilganda (
n
→∞), Δ
x
k
nolga intilsa 
(Δ
x
k
→
0), u holda 
S
n
integral yig‘indi biror songa intiladi. Ayni shu
son
f 
(
x
) funksiyaning [
a
;
 b
] kesmadagi 
integrali 
deb ataladi.
1-misol.
6-rasmda tasvirlangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini 
toping.

(4) formulaga muvofiq 
4
2
1
S
x dx
=
∫
. Bu integralni Nyuton–Leybnis 
formulasi (3) yordamida hisoblaymiz. 
f 
(
x
)
=x
2
funksiyaning bosh- 
lan g‘ich funksiyalaridan biri 
3
( )
3
x
F x
=
ekani ravshan. Demak, 
4
3
2
3
3
1
4 1
1
(4 1 )
63 21
1
3
3
3
x
S
x dx
=
=
=
−
= ⋅
=
∫
(kv. birlik).
Javob
: 
S 
= 21 kv. birlik. 
▲
2-misol.
7-rasmdagi shtrixlangan soha yuzini toping.
 
Shtrixlangan soha egri chiziqli trapetsiya bo‘lib, u yuqoridan 
y
=cos
x 
funksiyaning grafigi, pastdan esa 
;
2 2
π π


−




kesma bilan chegaralangan. 
y
=cos
x – 
juft funksiya, soha 
Oy 
o‘qqa nisbatan simmetrik. Shu ma'lumotlarga 
ko‘ra, soha yuzi 
2
0
cos
xdx
π
∫
yuzining ikki barobariga teng deyish mumkin.

---

100
101


6-rasm. 7-rasm.
Nyuton–Leybnis formulasi va (5) formulaga ko‘ra:
2
2
–
–
2
2
cos
sin
sin
sin(
) 1 ( 1) 1 1 2 (kv. birlik).
2
2
S
xdx
x
−
∆ =
=
=
−
= − − = + =
∫
π
π
π
π
π
π
p
p
p
p
p
p
Javob.
2 kv.birlik. 
▲
3-misol. 
 
0
cos
xdx
π
∫
p
aniq integralni hisoblang.

Nyuton–Leybnis formulasi va (5) formulasiga ko‘ra:
0
0
cos
sin
sin
sin 0 0.
xdx
x
π
π
π
∆
=
=
−
=
∫
p
0
π
0
0
cos
sin
sin
sin 0 0.
xdx
x
π
π
π
∆
=
=
−
=
∫
p
Javob
: 0. 
▲