Algebra va analiz asoslari

92
93
5) 
2
2
1
( ) cos 3
sin 3
sin 4 ,
4
f x
x
x
x
=
+
+
( ; );
8 8
A
π π
6) 
f 
(
x
) = tg
x
·ctg
x
( )
2cos ,
2
x
f x
tgx ctgx
=
⋅
−
(2 ; 2 );
A
π
π
7) 
2
( )
4 ,
5 2
f x
x
x
=
+
−
(2;6);
A
8) 
2
1
( ) 6
.
2 2
f x
x
x
=
−
−
,
A
(–2; 4).
Integrallarni toping (
22 – 28
):
22.
1) 
3
(
sin 2
3) ;
x
x
dx
−
−
∫
2) 
4
(
cos3
4) ;
x
x
dx
+
+
∫
3)
2
(
sin
cos ) ;
2
2
x
x
x
dx
−
+
∫
4)
3
(4
cos
sin ) ;
3
3
x
x
x
dx
+
+
∫
.
23*.
1) 
2
2
8
(
6cos
2) ;
sin
x
dx
x
+
+
∫
2) 
2
2
6
(
8sin
3) ;
cos
x
dx
x
−
+
∫
3)
sin 2 cos 2
;
x
xdx
∫
4)
(sin 3 cos
cos3 sin ) ;
x
x
x x dx
+
∫
5)
(sin 2 sin 4
cos 2 cos ) ;
x
x
x
x dx
⋅
+
∫
6) 
2
cos 5
.
xdx
∫
24*. 
1)
sin 5 cos3
;
x
xdx
∫
2) 
cos 2 cos3
;
x
xdx
∫
3) 
sin 7 sin 3
.
x
xdx
∫
25*.
1)
;
1
x dx
x
+
∫
2) 
2
;
7 12
dx
x
x
−
+
∫
3) 
2
(
3)
;
4
3
x
dx
x
x
−
−
+
∫
4)
2
(
4) .
16
x
dx
x
+
−
26.
1)
5
3
2
2 ;
1
x
x
dx
x
+
−
+
∫
2)
2
2
1 ;
1
x
dx
x
−
+
3) 
;
1 cos 2
dx
x
+
∫
4) 
;
1 cos 2
dx
x
−
5) 
2
4(
4)
dx
x
−
∫
;
6) 
2
(1 2sin 5 ) .
x dx
−
∫
27.
1)
3
4 2
(
1)
;
x
x dx
−
∫
2) 
2 3
;
(1
)
xdx
x
+
∫
3) 
3
tg
;
cos
x dx
x
∫
4)
2
ctg
;
sin
x dx
x
∫
5) 
3
sin
;
xdx
∫
6) 
3
cos
.
xdx
∫
28*.
1) 
;
1
xdx
x
−
∫
2) 
4 ;
x x
dx
⋅
−
∫
dx
; 3) 
( 1) ;
1
x
dx
x
−
+
∫
4) 
∫(
tg
2
x
+tg
4
x
)
dx
;
5) 
2
4
(ctg
ctg ) .
x
x dx
+
∫

---

92
93
Berilgan 
f
(
x
) funksiya uchun grafigi 
A
(
x
; 
y
) nuqtadan o‘tadigan 
boshlang‘ich funksiyani toping 
(29 – 30)
:
29. 
1) 
3
( )
cos
2
3
x
f x
= ⋅
, 
A
(π; 4);
2) 
3
( )
sin 5
5
f x
x
= ⋅
, 
( ; 3);
2
A
π
3) 
( ) 2sin 5
2cos
2
x
f x
x
=
+
, 
( ; 0);
3
A
π
30.
1) 
f
(
x
)=3
x
2
–2
x
+8, 
A
(1; 9);
2) 
3
2
( ) 4
3
2 1
f x
x
x
x
=
−
+
+
, 
A
(–1; 4);
3) 
4
2
( ) 5
3
2
f x
x
x
=
+
+
, 
A
(–2; 1).
31.
Integralni toping:
1) 
2
(
1)(
2) ;
x
x
dx
−
+
∫
2) 
2
(
2)(
9) ;
x
x
dx
+
−
∫
3)
2
3
(
1)(
1) ;
x
x
dx
+
−
∫
4)
2
1 4
1 2
;
1 2
x
xdx
x
−
+
−
−
∫
dx
;
5)
2
9
4
3 2 .
3
2
x
x
dx
x
− −
+
+
∫
dx
;
6) 
5 2
(
2 ) ;
x
x
e
dx
−
−
∫
7)
3 2
(
10 ) .
x
x
e
dx
+
+
∫
32.
Integralni hisoblang:
1)
2
;
6 10
x
dx
x
+
+
∫
6
x
2) 
2
;
4
5
dx
x
x
−
+
∫
3) 
2
.
10
26
dx
x
x
+
+
∫
N a m u n a :
2
4
5
dx
I
x
x
=
+
+
∫
integralni hisoblang.

2
2
;
4
5
1 (
2)
dx
dx
I
x
x
x
∆ =
=
+
+
+ +
∫
∫
x
+2 =
u
deyilsa, 1+(
x
+2)
2
=1+
u
2
x
′=
u
′ va integrallar jadvalining 
14–15 bandlariga ko‘ra
2
arctg
arctg(
2)
.
1
du
I
u C
x
C
u
=
=
+ =
+ +
+
∫
Tekshirish:
( a r c t g (
x
+ 2 ) +
C
) ′ = ( a r c t g (
x
+ 2 ) )
′
+
C
′
=
2
2
2
1
1
1
(arc (
2)
) (arc (
2))
0
.
1 (
2)
1 (
2)
4
5
tg x
C
tg x
C
x
x
x
x
′
′
′
+ +
=
+
+
=
+ =
=
+ +
+ +
+
+
2
2
2
1
1
1
(arc (
2)
) (arc (
2))
0
.
1 (
2)
1 (
2)
4
5
tg x
C
tg x
C
x
x
x
x
′
′
′
+ +
=
+
+
=
+ =
=
+ +
+ +
+
+
Javob: 
arctg(
x
+2)+
C
.
▲

---

94
95
Integrallash qoidalaridan yana biri 
bo‘laklab
integrallashdir
.
3-qoida*.
 
Agar biror 
X
oraliqda 
f 
(
x
) va 
g
(
x
) funksiyalar uzluksiz 
f
(
x
) 
va 
g
'(
x
) hosilaga ega bo‘lsa, u holda 
( ) '( )
( ) ( )
( ) '( )
f x g x dx f x g x
g x f x dx
=
−
∫
∫
(1) 
formula o‘rinlidir. Bu formula 
bo‘laklab integrallash formulasi
deyiladi.
Bu formulaning isboti 
f 
(
x
) va 
g
(
x
) funksiyalar ko‘paytmasini differen-
siallash qoidasi (
f
(
x
)
g
(
x
))
=f
(
x
)
g
(
x
)
+f
(
x
)
g
(
x
) va 
( )
( )
df x
f x C
=
+
∫
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)+
C
ekani dan 
kelib chiqadi.
Formuladan 
foydalanish yo‘rig‘i
: 1) integral ostidagi ifoda 
f
(
x
) va
g
(
x
) lar ko‘paytmasi ko‘rinishida yozib olinadi; 2) 
g
(
x
) va 
g
(
x
)
f
(
x
)
ifodalarning integrallarini oson (qulay) hisoblanadigan qilib olish nazarda 
tutiladi.
1-misol. 
x
x e dx
⋅
∫
integralni hisoblang.

Bu yerda 
f
(
x
)
=x, g
(
x
)
=e
x
 
deb olish qulay, chunki
( )
'( )
x
x
g x
g x dx
e dx e
= ∫
= ∫
=
, f
(
x
)=1.
 
U holda (1) ga asosan,
.
x
x
x
x
x
xe dx x e
e dx x e e C
= ⋅ −
= ⋅ − +
∫
∫
Demak, 
( 1)
.
x
x
xe dx e x
C
= ⋅ − +
∫
Javob:
e
x
(
x
–1)
+C
.
▲
2-misol.
ln
xdx
∫
integralni hisoblang.
∆
Integral ostidagi ln
x 
funksiyani
 f
(
x
)
=
ln
x 
va 
g
(
x
)
=
1
 
larning
ko‘paytmasi deb hisoblaymiz: ln
x=f 
(
x
)
 
·
 g
(
x
)
.
U holda
f
1
( )
,
dg x
x
=
( )
1
.
g x
dx x C
=
⋅
= +
∫
(1) formulaga ko‘ra,
1
ln
ln
ln
ln
(ln
1)
(ln
ln )
ln
.
xdx x x
x dx x x
dx x x x C
x
x
x
x
C x
x
e C x
C
e
=
−
⋅
=
−
=
− + =
=
− + = ⋅
−
+ = ⋅
+
∫
∫
∫

---

94
95
Demak,
ln
ln
.
x
xdx x
C
e
= ⋅
+
∫
Tekshirish:
( ln
) ( ln )
ln
(ln ) 0
1
ln
ln
1
1 1
.
x
x
x
x
x
C
x
C
x
x
e
e
e
e
x
e
x
lux
e
lux
lux
e
x e
′
′
′
′
′
+
=
+
= ⋅
+
+ =
=
+ ⋅ ⋅ =
−
+ =
− + =
1
ln
· ·
x
e
x
e
x e
=
+
⋅
1
ln
· ·
x
e
x
e
x e
=
+
⋅
1
ln
· ·
x
e
x
e
x e
=
+
=ln
x
– l n
e
+ 1 = l n
x
– 1 + 1 = l n
x .
Javob:
ln
.
x
x
C
e
⋅
+
∆
▲
3-misol. 
cos
x
xdx
∫
integralni hisoblang.

Integralni hisoblash uchun 
f 
(
x
)
=x, g
′
(
x
)
=
cos
x
deyish qulay. U 
holda 
f
′
( )
,
df x
dx
=
1, 
( )
cos
sin
g x
xdx
x
=
=
∫
(bu yerda boshlang‘ich funksiya - 
lardan bittasini ol dik, shuning uchun o‘zgarmas son 
C
ni yozma dik). 
Bo‘laklab integrallash formulasiga muvofiq,
cos
x
xdx
∫
cos
sin
sin
sin
cos
.
x
xdx x
x
xdx x
x
x C
= ⋅
−
=
+
+
∫
Javob: x 
sin
x+
cos
x+C
. 
▲
Integrallarni hisoblang (