Algoritmlarni loyihalash fanidan mustaqil ishi

Signallarni spektral tahlil qilishning matematik asosi Furye transformatsiyasi hisoblanadi.
Fyurening o'zgarishi bizga f (x) (signal) oralig'ida aniqlangan trigonometrik funktsiyalarning (sinusoidlar va / yoki kosinus to'lqinlar) cheksiz soni (sinusoidlar va / yoki kosin to'lqinlari) yig'indisi sifatida berilgan (f) (x) (signal) uzluksiz funktsiyani ma'lum amplituda va fazalar bilan ifodalashga imkon beradi. (0, T). Bunday ketma-ket Fyur seriyalari deyiladi.Shuningdek, signallarni tahlil qilish uchun Furie transformatsiyasini to'g'ri qo'llash uchun tushunish kerak bo'lgan ba'zi fikrlarni ta'kidlaymiz. Agar butun X o'qi bo'yicha Fyur seriyasini (sinusoidlarning yig'indisi) ko'rib chiqsak, (0, T) intervaldan tashqarida Fury qatori bilan ifodalangan funktsiya vaqti- vaqti bilan funksiya takrorlanishi mumkin.



15
Nodavriy signallar spektrlarini tahlil qilish asosini Furye to‘g‘ri 𝐹{𝑠(𝑡)} = 𝑆̇(𝜔) = ∫ 𝑠(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ (2.31) va teskari
𝐹 −1 {𝑆̇(𝜔)} = 𝑠(𝑡) = 1 2𝜋 ∫ 𝑆̇(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 ∞ −∞ (2.31)
almashtirishlari tashkil qiladi. 𝑆̇(𝜔) funksiya 𝑠(𝑡) signalning spektral funksiyasi, spektr zichligi yoki oddiygina spektri deb ataladi. Agar 𝑠(𝑡) signal Dirixle shartini hamda quyidagi absolyut integrallanish shartini qanoatlantirsa (2.31) va (2.32) almashtirishlarini amalga oshirish mumkin bo‘ladi:
∫|𝑠(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞. ∞ −∞ 𝑆̇(𝜔)
spektral funksiya umumiy holda kompleks funksiya bo‘lib, Eyler formulasi 𝑒 ±𝑗𝛼 = cos 𝛼 ± 𝑗 sin 𝛼 ni e’tiborga olib, ushbu funksiyani quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:
𝑆̇(𝜔) = ∫ 𝑠(𝑡) cos 𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ − 𝑗 ∫ 𝑠(𝑡) sin 𝜔𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ = = Re𝑆̇(𝜔) + 𝑗Im𝑆̇(𝜔) = 𝐴(𝜔) − 𝑗𝐵(𝜔). (2.33)
Toq funksiyadan simmetrik chegaralarda olingan aniq integral nolga teng. (2.33) ifodadagi 𝑠(𝑡) signalni juft va toq signallar yig‘indisidan iborat
𝑠(𝑡) = 𝑠𝑗𝑢𝑓𝑡(𝑡) + 𝑠𝑡𝑜𝑞(𝑡)
deb qarasak, Furye kosinusoidal almashtirishi 𝐴(𝜔) – 𝑠(𝑡) signalning juft va Furye sinusoidal almashtirishi 𝐵(𝜔) – 𝑠(𝑡) signalning toq 47 qismlari orqali aniqlanishini kuzatish mumkin. Bundan foydali amaliy xulosa kelib chiqadi, ya’ni 𝑠(𝑡) juft funksiyaning Furye almashtirishi chastota 𝜔 ning haqiqiy funksiyasi, 𝑠(𝑡) toq funksiyaning Furye almashtirishi chastota 𝜔 ning mavhum funksiyasi hisoblanadi. Furye teskari almashtirishi
𝐹 −1 {𝐴(𝜔) − 𝑗𝐵(𝜔)}
ni kuzatib, 𝐴(𝜔) – chastota 𝜔 ning juft, 𝐵(𝜔) – esa toq funksiyasi ekanligini aytish mumkin:
𝐴(𝜔) = 𝐴(−𝜔), 𝐵(𝜔) = −𝐵(−𝜔).
Kitobxonga ushbu fikrni mustaqil ravishda isbot qilish tavsiya etiladi (bunda shuni e’tiborga olish kerakki, 𝑆̇(𝜔) ning teskari Furye almashtirishi vaqtning haqiqiy funksiyasi hisoblanadi). Bundan 𝑆̇(𝜔) ning yana bir muhim xossasi kelib chiqadi: 𝑆̇
∗ (𝜔) = {𝐴(𝜔) − 𝑗𝐵(𝜔)} ∗ = 𝐴(𝜔) + 𝑗𝐵(𝜔) = 𝐴(−𝜔) − 𝑗𝐵(−𝜔) = 𝑆̇(−𝜔), (2.34)
16
ya’ni, dastlabki spektral funksiyaga kompleks bog‘langan funksiyani topish uchun argument 𝜔 belgisini o‘zgartirish yetarli hisoblanadi. Spektral funksiyani quyidagi namunaviy ko‘rinishda ifodalash mumkin:
𝑆̇(𝜔) = |𝑆̇(𝜔)|exp𝑗𝜑(𝜔). (2.35)
Bunda |𝑆̇(𝜔)| = √𝐴2(𝜔) + 𝐵2(𝜔) ≥ 0 ifoda spektral amplituda funksiyasi (ko‘pincha amplituda spektri) deb, 𝜑(𝜔) = 𝑎𝑟𝑔𝑆̇(𝜔) = arctg Im𝑆̇(𝜔) Re𝑆̇(𝜔) ifoda esa spektral faza funksiyasi (ko‘pincha faza spektri) deb ataladi. Bundan amplituda spektri |𝑆̇(𝜔)| juft, faza spektri 𝜑(𝜔) esa toq funksiya ekanligini ko‘rish mumkin. Ushbuni e’tiborga olib va (2.35) ifodani (2.32) ifodaga qo‘ysak, quyidagiga ega bo’lamiz
𝑠(𝑡) = 1 2𝜋 ∫|𝑆̇(𝜔)|𝑒 𝑗𝜑(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 ∞ −∞ = ∫ |𝑆̇(𝜔)| 𝜋 cos[𝜔𝑡 + 𝜑(𝜔)] 𝑑𝜔 ∞ 0 ,
spektral funksiyaning fizik ma’nosi: 𝑠(𝑡) signal juda kichik |𝑆̇(𝜔)| 𝑑𝜔 𝜋 amplitudali, chastotalar intervali 0 dan ∞ gacha uzluksiz to‘ldiriluvchi cheksiz ko‘p sonli 48 garmonik tashkil etuvchilarning yig‘indisidan iborat; ushbu tashkil etuvchilarning boshlang‘ich fazalari 𝜑(𝜔) funksiyasi orqali, cheksiz kichik amplitudalarning chastotaga bog‘liqligi “zichligi” |𝑆̇(𝜔)| funksiyasi orqali ifodalanadi. (2.36) ifodadagi ikkinchi integral “manfiy” chastotalarning yuzaga kelishini izohlaydi: manfiy chastotalarning yuzaga kelishi Furye to‘g‘ri va teskari almashtirishlarining matematik operatsiya sifatidagi xarakteri bilan bog‘liq bo‘lib, fizik jihatdan noreal hisoblanadi. Ushbu mulohazani 2.2 va 2.3 bandlardagi natijalar bilan taqqoslash foydalidir. Spektral funksiya 𝑆̇(𝜔) ning o‘lchov birligi signalning o‘lchov birligini vaqtga ko‘paytmasi kabidir: ya’ni agar 𝑠(𝑡) signalning o‘lchov birligi – voltlarda bo‘lsa, u holda spektral funksiyaning o‘lchov birligi
[𝑆̇(𝜔)] = 𝑉 ∙ 𝑠 = 𝑉/𝐻𝑧
. Furye almashtirishining simmetrikligi. Faraz qilaylik, 𝑠(𝑡) juft signalning haqiqiy spektri 𝑆̇(𝜔) = 𝑆(𝜔) ga teng bo‘lsin, ma’lumki spektral funksiya ham chastota 𝜔 ning juft funksiyasi bo‘ladi. U holda 𝑆(𝑡) signal 2𝜋𝑠(𝜔) spektrga ega bo‘lishi kerak. Aynan exp(±𝑗𝜔𝑡) yadrosiga kiruvchi argumentlar 𝜔 va 𝑡 larning “o‘zaro almashinuvi” (2.31) va (2.32) ifodalar juftligining simmetrikligidan dalolat beradi. Davriy ketma-ketlikning spektri va yakka impulsning spektral funksiyasi orasidagi bog‘liqlik. Furye kompleks qatori koeffitsiyentlarini hisoblash formulasi, ya’ni (2.22) ifoda
𝐶̇ 𝑘 = 1 𝑇 ∫ 𝑟(𝑡)𝑒 −𝑗𝑘𝜔1𝑡𝑑𝑡 𝑇 0 va (2.31)
17
ifoda, ya’ni Furye to‘g‘ri almashtirishi yoki 𝑟(𝑡) davriy ketma-ketlik impulsini tasvirlovchi impulsning spektral funksiyasi 𝑅̇(𝜔) = ∫ 𝑟(𝑡)𝑒 −𝑗𝑘𝜔1𝑡𝑑𝑡 ∞ −∞ , ni taqqoslab, ular orasida juda sodda bog‘lanish mavjudligini ko‘rishimiz mumkin
𝐶̇ 𝑘 = 1 𝑇 𝑅̇(𝑘𝜔1 ).
Raqamli signal – T vaqt davomida olingan N namunalar
Raqamli texnologiyalar rivojlanishi bilan o'lchov ma'lumotlarini (signallarni) saqlash usullari o'zgargan. Agar ilgari signal magnitafonga yozib olinishi va magnitofonga analog shaklda saqlanishi mumkin bo'lsa, endi raqamlar raqamlangan (namunalar) to'plami sifatida kompyuter xotirasida fayllarga saqlangan.
Analog kirish signalini diskret kodga (raqamli signal) o'zgartiradigan moslama analog-raqamli konvertor (ADC) (Wiki) deb nomlanadi.ADCning asosiy parametrlaridan biri bu maksimal namlik chastotasi (yoki namuna olish chastotasi, inglizcha namuna tezligi) - namuna olish paytida doimiy uzluksiz signalning namuna olish chastotasi. Gertsda o'lchanadi.

bu erda ramzlar va mos ravishda kvadrat qavs ichiga o'rnatilgan qiymatning xayoliy va haqiqiy qismlarini anglatadi.
Agar haqiqiy doimiy K qiymatiga ko'paytirsak, Fyurier seriyasidagi kengaytirish quyidagi shaklga ega
Ko'pgina hollarda signal spektrini olish (hisoblash) vazifasi quyidagicha. Fd namuna olish chastotasi bilan Fd uzluksiz signalni T vaqtidagi signalini raqamli namunalarga - N bo'laklarga o'zgartiradigan ADC mavjud. Keyinchalik namunalar qatori ba'zi
18
raqamli qiymatlarning N / 2 ni ishlab chiqaradigan ma'lum bir dasturga kiritiladi (dasturchi kim  Internetdan tortib olindi dastur yozgan, u Fyureni o'zgartirganini aytadi).
Dastur to'g'ri ishlashini tekshirish uchun ikkita sinusoid sin (10 * 2 * pi * x) + 0.5 * sin (5 * 2 * pi * x) yig'indisi sifatida namunalar qatorini tuzamiz va dasturni suring. Dastur quyidagilarni jalb qildi: