Amaliy masalalarni yechishda Mathcad. Abdrimov A
II BOB. AMALIY MASALALARNI YESHISHDA MATHCAD DASTURIDAN
Yüklə 1,05 Mb. Pdf görüntüsü
|
|
II BOB. AMALIY MASALALARNI YESHISHDA MATHCAD DASTURIDAN
FOYDALANISH 1-§.Amaliy masalalarni yechish metodikasi. Chiziqli dasturlash masalasi optimizatsiya masalalaridan bo’lib, uning umumlashgan matеmatik modеli formasining yozilishi quyidagi ko`rinishga ega.
max(min) ) , 1 ( 0 ) , 1 ( , 1 1 → = = ≥ = ≤ ∑ ∑ = =
j i i j n j i j ij x c Z n j x m i b x a
Matеmatik modеlning birinchi formulasi iqtisodiy ma'noda izlananayotgan miqdorlarga qo`yiladigan chеklanishlarni ifodalaydi, ular rеsurslar miqdori, ma'lum talablarni qondirish zarurati, tеxnologiya sharoiti va boshqa iqtisodiy hamda tеxnikaviy faktorlardan kеlib chiqadi. Ikkinchi shart - o`zgaruvchilarning, yani izlanayotgan miqdorlarning manfiy bo`lmaslik sharti bo`lib hisoblanadi. Uchinchisi maqsad funktsiyasi dеyilib, izlanayotgan miqdorning biror bog`lanishini ifodalaydi. Chiziqli dasturlash masalasiga kеluvchi quyidagi masalani qaraymiz. Fabrika ikki xil A va V tikuv maxsulti ishlab chiqaradi. Bu mahsulotlarni ishlab chiqarishda uch xil N 1 ,N
,N 3 turdagi matеriallarni ishlatadi. N 1 -matеrialdan 15 m., N 2 -
3 -matеrialdan 18 m. mavjud. M 1
1 -dan 2 m., N 2 -dan 1 m., N 3 -dan 3 m. ishlatadi. M 2 - mahsulotni ishlab chiqarish uchun N 1 -dan 3 m., N 2 -dan 4 m., N 3 -dan 0 m. ishlatadi. M 1 - mahsulotning bir birligidan kеladigan foyda 10 so`mni, M 2 - mahsulotdan kеladigan foyda 5 so`mni tashkil qiladi. Ishlab chiqarishning shunday planini tuzish kеrakki fabrika maksimal foyda olsin. Masalaning matеmatik modеlini tuzamiz: 2x 1 +3x 2 ≤ 15
x 1 +4x 2 ≤ 16 3x 1 ≤ 18
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 Z=10x
1 +5x
2
max MATHCADda chiziqli dasturlash masalasi еchishda maximize va minimize funktsiyalaridan foydalanish mumkin. Bu funktsiyalar umumiy holda quyidagi ko`rinishda yoziladi: Maximize(F, Minimize(F, MATHCADda chiziqli dasturlash masalasini еchish quyidagicha bajariladi (14- rasm): 1.MATHCADni ishga tushurgandan so`ng, maqsad funktsiyasi yoziladi, masalan f(x,y)= 2.Given kalit so`zi yoziladi. 3.Tеngsizliklar tizimi va chеklanishlar kiritiladi. 4.Bror o`zgaruvchiga maximize yoki inimize funktsiyasi yuboriladi. 5.Shu o`zgaruvchi yozilib tеnglik kiritiladi. Natija vеktor ko`rinishida hosil bo`ladi. 6.Maqsad funktsiyasi qiymatini hisoblash uchun, masalanf (p 0 ,p 1 ) yozilib tеnglik bеlgisi kiritiladi.
2.9-rasm. Chiziqli dasturlash masalasini еchish.
1) Bir buyum yasash uchun uzunligi 120 sm bo’lgan sterjendan 80 ta, uzunligi 100 sm bo’lgan sterjendan 120 ta, uzunligi 70 sm bo’lgan sterjendan 102 ta kerak. Ularni qirqib olish uchun uzunligi 220sm bo’lgan metal sterjendan eng kamida qancha kerak? Yechish. Berilgan materialdan kerakli bo’laklarni tayyorlashning 5 hil ratsional usullari bor: Qirqish
usuli Bo’laklar soni Chiqindi miqdori, sm 120s
m 100s
m 70sm
1 1 1 0 0 2 1 0 1 30 3 0 2 0 20 4 0 1 1 50
5 0 0 3 10
Matematik modelini tuzamiz. Buning uchun quyidagi jadvaldan foydalanamiz
Sterjen uzunligi 1- usul 2- usul 3-
usul 4-
usul 5- usul Jami kerakli sterjen soni 120sm
1 1 0 0 0 80 100sm 1 0 2 1 0 120 70sm
0 1 0 1 3 102 Material soni
x1 x2
x3 x4
x5
Matematik modeli. 1) Maqsad funksiyasi(material eng kam sariflansin): x1+x2+x3+x4+x5 → min 2) Chegaraviy shartlar(kerakli miqdorda sterjen bo’laklari qirqib olinsin): x1+x2≥80 x1+2x3+x4≥120 x2+x4+3x5≥102 3) Noma’lumlarni nomanfiylik shartlari x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0
Bu modelni MathCAD oynasiga quyidagi ko’rinishda yozib echimni olamiz: x1:=1 x2:=0 x3:=0 x4:=0 x5:=0 F(x1,x2,x3,x4,x5):= x1+x2+x3+x4+x5 Given
x1+x2≥80 x1+2x3+x4≥120 x2+x4+3x5≥102 x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0
P:=Minimize(F, x1,x2,x3,x4,x5)
Bu natija quyidagini ko’rsatadi: uzunligi 220sm bo’lgan materialdan eng kam miqdordagi sarfi uchun 1-usulda 80ta, 3-usulda 20ta, 5-usulda 34ta olib qirqish kerak. Bunda jami 134 ta material sariflanadi.
2) 1-masaladagi berilmalar bo’yicha chiqindi eng kam bo’lsin degan masalani echamiz. Buning uchun bizga jadvalni quyidagi ko’rinishda olinishi model qurishga yordam beradi
Sterjen
uzunligi 1- usul 2- usul 3-
usul 4-
usul 5- usul Jami kerakli sterjen soni 120sm
1 1 0 0 0 80 100sm 1 0 2 1 0 120 70sm
0 1 0 1 3 102 Chiqindi miqdori
0 30
20 50
10
Material soni x1
x2 x3
x4 x5
Model tuzamiz. 1) Maqsad funksiyasi(Chiqindi eng kam bo’lsin): 30x2+20x3+50x4+10x5 → min
2) Chegaraviy shartlar(kerakli miqdorda sterjen bo’laklari qirqib olinsin): x1+x2≥80 P 80 0 20 0 34 =
F P 0 P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , ( ) 134 =
x1+2x3+x4≥120 x2+x4+3x5≥102 3) Noma’lumlarni nomanfiylik shartlari x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0
Bu modelni MathCAD oynasiga quyidagi ko’rinishda yozib echimni olamiz: x1:=1 x2:=0 x3:=0 x4:=0 x5:=0
F(x1,x2,x3,x4,x5):=30x2+20x3+50x4+10x5 Given
x1+x2≥80 x1+2x3+x4≥120 x2+x4+3x5≥102 x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0 P:=Minimize(F, x1,x2,x3,x4,x5)
Bu natija quyidagini ko’rsatadi: uzunligi 220sm bo’lgan materialdan eng kam chiqindi chiqadigan bo’lishi uchun 1-usulda 120ta, 5-usulda 34ta olib qirqish kerak. Bunda jami 340sm chiqindi hosil bo’ladi.
3) Loyiha bo’yicha buyum tayyorlash uchun tomonlarining o’lchamli 50 sm, 40 sm va 20 sm bo’lgan uch xil kvadrat metal listlar foydalaniladi. Bitta buyumga 50 smli kvadratdan 4ta, 40 smli kvadratdan 6ta, 50 smli kvadratdan 12ta kerak bo’ladi.
120 0 0 0 34 =
F P 0 P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , ( ) 340
=
Omborda O’lchami 100 x 60 sm bo’lgan 100ta to’rtburchakli metal listlari bor. Bundan kopi bilan qanch buyum tayyorlash mumkin. Yechish
Listni qirqish uchun 6 xil ratsional usul mavjud: Qirqish
usuli Kvadrat listlar soni 50sm 40sm
20sm 1 2 0 0 2 1 1 2 3 1 0 6 4 0 2 7 5 0 1 11 6 0 0 15
Model tuzish uchun bizga quyidagi jadvaldan foydalanish qulaylik tug’diradi Kvadrat listlar 1-
usul 2-
usul 3-
usul 4-
usul 5-
usul 6-
usul Z ta buyum uchun kerakli kvadrat soni 50sm
2 1 1 0 0 0 4z 40sm
0 1 0 2 1 0 6z 20sm
0 2 6 7 11
15 12z
Material soni
x1 x2
x3 x4
x5 x6
Jami material soni 100ta
1) Maqsad funksiyasi(buyum soni eng ko’p bo’lsin): z →
2) Chegaraviy shartlar(kerakli miqdorda kvadratlar qirqib olinsin): 2x1+x2+x3≥4z x2+2x4+x5≥6z
2x2+6x3+7x4+11x5+15x6≥12z 3) Jami qirqilayotgan listlar soni ombordagi miqdordan ortib ketmasin x1+x2+x3+x4+x5+x6 ≤ 100
4) Noma’lumlarni nomanfiylik shartlari x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0 x6≥0 z≥0
Bu modelni MathCAD oynasiga quyidagi ko’rinishda yozib echimni olamiz: x1:=1 x2:=0 x3:=0 x4:=0 x5:=0 x6:=0 z:=1
F(x1,x2,x3,x4,x5,x6,z):=z Given
2x1+x2+x3-4z≥0 x2+2x4+x5-6z≥0 2x2+6x3+7x4+11x5+15x6-12z≥0 x1+x2+x3+x4+x5+x6 ≤ 100
x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0 x6≥0 z≥0
P:=Maximize(F, x1,x2,x3,x4,x5,x6,z)
P 40 0 0 60 0 0 20 =
F P 0 P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 , P 6 , ( ) 20 =
Bu natija quyidagini ko’rsatadi: o’lchami 100 x 60 sm bo’lgan 100ta to’rtburchakli metal listlardan ko’pi bilan 20ta loyihadagi buyumni tayyorlash mumkin. Buning uchun 1-usulda 40ta, 4-usulda 60ta list qirqilishi kerak.
4) Loyihadagi buyumni tayyorlash uchun uch turdagi detal kerak. Ularni ikki xil materialdan qirqib olish mumkin. Birinchi turdagi materialdan 3 xil, ikkinchi turdagi materialdan 2 xil, jami 5 xil ratsional qirqib olish usuli mavjud. Ular quyidagi jadvalda berilgan
Detallar 1-turdagi material 2-turdagi material 1-usul 2-usul
3-usul 4-usul
5-usul 1 0 2 9 1 5 2 4 3 2 5 4 3 10 6 0 8 0
Bitta buyum uchun 1-turdagi detaldan 4ta, 2-turdagi detaldan 3ta, 3-turdagi detaldan 7ta kerak bo’ladi. Omdorda 1-turdagi materialdan 100 birlik, 2-turdagi materialdan 300 birlik mavjud. Bulardan kopi bilan qanch buyum tayyorlash mumkin.
Yechish. Quyidagi jadvaldan foydalanib model tuzamiz. Detallar turi 1-
usul 2-
usul 3-
usul 4-
usul 5-
usul C ta buyum uchun kerakli detal soni 1 0 2 9 1 5 4c
2 4 3 2 5 4 3c 3 10 6 0 8 0 7c
1- tur material x1 x2
x3
Jami material 100birlik 1-tur
x4
x5 Jami material
material 300birlik
1) Maqsad funksiyasi(buyum soni eng ko’p bo’lsin): c → max 2) Chegaraviy shartlar(kerakli miqdorda detallar qirqib olinsin): 2x2+9x3+x4+5x5≥4c 4x1+3x2+2x3+5x4+4x5≥3c 10x1+6x2+8x4≥7c 3) Jami qirqilayotgan materiallar ombordagi miqdordan ortib ketmasin x1+x2+x3 ≤ 100 x4+x5 ≤ 300 4) Noma’lumlarni nomanfiylik shartlari x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0 c≥0
Bu modelni MathCAD oynasiga quyidagi ko’rinishda yozib echimni olamiz: x1:=1 x2:=0 x3:=0 x4:=0 x5:=0 c:=1
S(x1,x2,x3,x4,x5,z):=z Given
2x2+9x3+x4+5x5-4c≥0 4x1+3x2+2x3+5x4+4x5-3c≥0 10x1+6x2+8x4-7c≥0 x1+x2+x3
≤ 100
x4+x5 ≤ 300 x1≥0 x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5≥0 z≥0
Q:=Maximize(F, x1,x2,x3,x4,x5,c)
= 300
5 . 37 5 . 262 100 0 0 Q
Bu natija quyidagini ko’rsatadi: Ombordagi materialdan ko’pi bilan 300ta loyihadagi buyumni tayyorlash mumkin. Buning uchun 3-usulda 100birlik, 4- usulda 262,5 birlik, 5-usulda 37,5 birlik material qirqilishi kerak
|