1-teorema. Biror tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsin, bu tasodifiy miqdor ustida o`tkazilgan ta o`zaro bog`liq bo`lmagan kuzatishlar natijalarining empirik taqsimot funksiyasi bo`lsin. U holda ixtiyoriy () va ixtiyoriy uchun
1-teorema. Biror tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsin, bu tasodifiy miqdor ustida o`tkazilgan ta o`zaro bog`liq bo`lmagan kuzatishlar natijalarining empirik taqsimot funksiyasi bo`lsin. U holda ixtiyoriy () va ixtiyoriy uchun
.
Demak, agar tanlanma hajmi katta bo`lsa empirik taqsimot funksiyasining nuqtadagi qiymatini, nazariy taqsimot funksiyaning shu nuqtadagi qiymati uchun baho sifatida qabul qilinishi mumkin ekan.
2-teorema (Glivenko-Kantelli). Biror tasodifiy miqdorning nazariy taqsimot funksiyasi va empirik taqsimot funksiya bo`lsin, u holda da.
Boshqacha qilib aytganda, yetarlicha katta hajmdagi tanlanamlar uchun empirik taqsimot funksiyaning nazariy taqsimot funksiyadan chetlanishi
1 ehtimollik bilan hohlagancha kichik bo`ladi.
Tanlanma xarakteristikalari Ma`lumki, ehtimollar nazariyasida taqsimot funksiyani bilish shu taqsimot funksiyasiga ega bo`lgan t.m. haqida to`liq ma`lumotga ega bo`lishni anglatadi. Ammo juda ko`p amaliy masalalarni hal qilishda t.m.ni to`liq bilish shart bo`lmay, balki uning ayrim sonli xarakteristikalarini bilish kifoya bo`ladi. T.m.ning asosiy sonli xarakteristikalari bu-matematik kutilma va dispersiyalardir. Matematik kutilma t.m.ning qiymatlari zich joylashadigan o`rta qiymatni anglatsa, dispersiya esa t.m. qiymatlarini shu o`rta qiymat atrofida qanchalik tarqoqligini bildiradi. Shunga o`xshash sonli xarakteristikalarni statistik taqsimot funksiyasiga nisbatan ham kiritish mumkin. Matematik kutilmaning statistik o`xshashi empirik o`rta qiymat yoki tanlanma o`rta qiymatidan iborat bo`ladi va u (6.3.1) amaliy qiymat yordamida quyidagicha aniqlanadi
Tanlanma xarakteristikalari Ma`lumki, ehtimollar nazariyasida taqsimot funksiyani bilish shu taqsimot funksiyasiga ega bo`lgan t.m. haqida to`liq ma`lumotga ega bo`lishni anglatadi. Ammo juda ko`p amaliy masalalarni hal qilishda t.m.ni to`liq bilish shart bo`lmay, balki uning ayrim sonli xarakteristikalarini bilish kifoya bo`ladi. T.m.ning asosiy sonli xarakteristikalari bu-matematik kutilma va dispersiyalardir. Matematik kutilma t.m.ning qiymatlari zich joylashadigan o`rta qiymatni anglatsa, dispersiya esa t.m. qiymatlarini shu o`rta qiymat atrofida qanchalik tarqoqligini bildiradi. Shunga o`xshash sonli xarakteristikalarni statistik taqsimot funksiyasiga nisbatan ham kiritish mumkin. Matematik kutilmaning statistik o`xshashi empirik o`rta qiymat yoki tanlanma o`rta qiymatidan iborat bo`ladi va u (6.3.1) amaliy qiymat yordamida quyidagicha aniqlanadi
O‘rta qiymatni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
O‘rta qiymatni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
bu yerda har bir variantaning mos chastotasidir.
Empirik dispersiya yoki tanlanma dispersiyasi esa quyidagicha aniqlanadi: , (yoki ) r-ichi tartibli tanlanma momentlar va markaziy momentlar ham shunga o`xshash aniqlanadi
