Аникмас интеграл

Ta`rif: Agar S integral yig’indi [a,b] kesmani qismiy [x_i-1, x_i ] kesmalarga ajratish usuliga va ularning har biridan ₁ nuqtasini tanlash usuliga bog’liq bo’lmaydigan chekli songa intilsa, u holda shu son [a,b] kesmada f(x) funksiyadan olingan aniq integral deyiladi va quyidagicha belgilanadi.

f(x) dan x bo’yicha a dan b gacha olingan aniq integral deb o’qiladi.
Bu yerda f(x) integral ostidagi funksiya [a,b] kesma-integrallash oralig’i; a son integralning quyi chegarasi, b son integralning yuqori chegarasi;
Shunday qilib, aniq integralning ta`rifidan quyidagini yozish mumkin.

Aniq integral hamma vaqt mavjud bo’lavermas ekan. Aniq integralning mavjudlik teoremasini quyida keltiramiz. (Isbotsiz).
Teorema: Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u integrallanuvchidir, ya`ni bunday funksiyaning aniq integrali mavjuddir.
Shunday qilib, aniq integralning qiymati y=f(x) funksiyaning grafigi bilan va x=a, x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga son jihatdan teng bo’ladi.

1. 
   Izoh: Aniq integralning chegaralari almashtirilsa, integralning ishorasi o’zgaradi.
   

2-Izoh. Agar aniq integralning chegaralari teng bo’lsa, har qanday funksiya uchun quyidagi tenglik o’rinli ;

haqiqatdan ham, geometrik nuqtai nazardan egri chiziqli trapetsiya asosining uzunligi nolga teng bo’lsa, uning yuzi ham nolga teng bo’ladi.


Aniq integralning asosiy xossalari

1- xossa: O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisining tashqarisiga chiqarish mumkin.

Isbot:

2-xossa: Bir necha funksiyalar algebraik yig’indisining aniq integrali qo’shiluvchilar aniq integrallarning algebraik yig’indisiga teng.

Masalan:

3-xossa. Agar [a, b] kesmada f(x) va  (x) funksiyalar uchun f(x)   (x) shart bajarilsa, u holda bo’ladi.

4-xossa: Agar [a,b] kesma bir necha qismga bo’linsa, u holda [a,b] kesma bo’yicha aniq integral har bir qism bo’yicha olingan aniq integrallar yig’indisiga teng.
Masalan: a bo’lsa, u holda

5-xossa: Aniq integralning qiymati funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegaralariga bog’liq, lekin integral ostidagi ifodaning harflariga bog’liq emas.

Nazorat savollari

1. 
   Berilgan kesmada berilgan funksiyaning aniq integrali deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Aniq integralning mavjudlik teoremasi nimadan iborat?
   
3. 
   Aniq integralning geometrik ma’nosi qanday?
   
4. 
   Aniq integralning sodda xossalarini ifodalang?