Аникмас интеграл

Aniq integralni bo’laklab integrallash

Faraz qilaylik, u(x) va v(x) funksiyalar [a,b] kesmada differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin.

Ularning ko’paytmasini tuzib hosila olamiz:

Tenglikni ikkala tomonini a dan b gacha integrallaymiz:

(2)
Bulardan

bo’lgani uchun (2) ni quyidagicha yozamiz .
bundan
(3)
kelib chiqadi.
Bu (3) formula aniq integralni bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.
1-Misol .

2-Misol .

Nazorat savollari

1. 
   Nyuton - Leybnits formulasini yozing?
   
2. 
   Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish usuli nimadan iborat?
   
3. 
   Aniq integralda o’zgaruvchini bo’laklab integrallash usuli nimadan iborat?
   

Ma`ruza -8


Mavzu: Aniq integralni geometriyaga tadbiqi
Ma`ruza rejasi:

1. 
   Sohaning yuzini aniq integral yordamida topish.
   
2. 
   Egri chiziq yoyining uzunligini hisoblash.
   

Adabiyotlar:

1. 
   Soatov Yo. U. Oliy matematika. “O’qituvchi”, Toshkent, 1- qism. 327-341 betlar.
   
2. 
   Minorskiy V.P. Oliy matematikadan masalalar to’plami. “O’qituvchi”, Toshkent, 173-174 betlar, 1977.
   
3. 
   Piskunov N. S. «Differensial va integral hisob», “O’qituvchi”, Toshkent, 1-qism 474-476 betlar, 1972.
   

Sohaning yuzini aniq integral yordamida topish

Figuralar yuzlarini Dekart koordinatalar sistemasida hisoblashni ko’rib chiqamiz.

Agar [a,b] kesmada f(x)0 bo’lsa, u holda yqf(x) egri chiziq OX o’qi va x=a va x=b egri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi quyidagiga teng edi.





y₁=f₁(x) va y₂=f₂(x) egri chiziqlar hamda x=a va x=b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblash kerak bo’lsin.
U holda f₁(x)>f₂(x) shart bajarilgan figuraning yuzi quyidagiga teng bo’ladi.


(1)
1-Misol : y=x²+1 va y=3-x chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.
Yechish: Buning uchun chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz.
x²+1=3-xx²+x-2=0
x₁=1 x₂=-2

Demak,
Agar egri chiziqli trapetsiyaning yuzi parametrik shaklda berilgan chiziq bilan chegaralangan bo’lsa, sohaning yuzi quyidagi formula bilan hisoblanadi.

1-Misol .
Ellips bilan chegaralangan sohani yuzini hisoblang.
Yechish : Ellipsning yuqori yarim yuzini hisoblab, uni ikkiga ko’paytiramiz.

Demak,

Agar funksiya qutb koordinatalar sistemasida berilgan bo’lsa, u holda sohaning yuzi quyidagi formula bilan hisoblanadi.