Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi

Mavzu:
Aniq integral.
Nyuton-Leybnits formulasi

REJA

• 
  Quyi va yuqori integral yig’indilar.
  
• 
  Aniq integral.
  
• 
  Aniq integralning asosiy xossalari.
  
• 
  Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi
  

1. Quyi va yuqori integral yig’indilar.

Matematika, fizika, mexanika va boshqa fanlarda tadqiqotlar olib borishning eng yaxshi vositasi aniq integraldir. Egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzalarni, yoylarning uzunliklarini, hajmlarni, ishni, tezlikni, yo’lni, inersiya momentlarini hisoblash aniq integralni hisoblashga keltiriladi.

[a,b]
[a,b]
kesmada uzluksiz kesmani
y  f (x)
funksiya berilgan bo’lsin. m va M bilan shu oraliqdagi eng katta va eng kichik qiymatlarni belgilaymiz.


a  x₀ , x₁, x₂ ,..., x_n1, x_n  b,

bo’lishini nuqtalari yordamida n ta qismlarga ajratamiz, bunda
x₀  x₁  x₂  ...  x_n ,

va
So’ngra,


x₁  x₀  x₁, x₂  x₁  x₂ , , x_n  x_n1  x_n
y  f (x) funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini quyidagicha belgilaymiz

[x₀ , x₁]
m₁ va
M₁ ,

[x₁, x₂ ]
m₂ va
M ₂ ,

............................

[x_n1, x_n ] m_n va M_n

Quyidagi yig’indilarni tuzamiz:

s_n  m₁x₁  m₂x₂  ...  m_nx_n  _m_ix_i
i1
(1)

s_n  M₁x₁  M ₂x₂  ...  M_nx_n  _M_ix_i
i1
(2)

s_n - yig’indi quyi integral yig’indi, s_n -yig’indi esa yuqori integral yig’indi deb ataymiz.

Agar
f (x)  0 bo’lsa, u holda quyi integral yig’indi sonma-son
AC₀ N₁C₁N₂...C_n1N_n BA “ichki chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng, yuqori integral yig’indi sonma-son
AK₀C₁K₁...C_n1K_n1C_n BA

“tashqi chizilgan zinasimon figura”ning yuzasiga teng.
Quyi va yuqori integral yig’indilarning ba’zi xossalarini sanab o’tamiz:
a) ^{mi  Mi} bo’lganligi uchun i(i 1,2,..., n), (1) va (2) formulalar asosida topamiz


s_n  s_n .

(agar b)
f (x)  const bo’lsagina tenglik belgisi bo’ladi).
m₁  m,m₂  m,...,m_n  m,

bo’lganligi uchun, bu yerda m - f (x) funksiyaning [a,b] dagi eng kichik qiymati,
s_n  m₁x₁  m₂x₂  ...  m_nx_n  mx₁  mx₂  ...  mx_n 
 m(x₁  x₂  ...  x_n )  m(b  a)

Shunday qilib,

v)
bu yerda M - f (x)

Shunday qilib,

s_n  m(b  a)



M₁  M , M₂  M ,..., M_n  M ,

funksiyaning [a,b] dagi eng katta qiymati,

s_n  M₁x₁  M₂x₂  ...  M_nx_n  M x₁  M x₂  ...  M x_n 
 M (x₁  x₂  ...  x_n )  M (b  a)



s_n  M (b  a)

Olingan tengsizliklarni birlashtirib, topamiz

m(b  a)  s_n  s_n  M (b  a)

Agar

f (x)  0

bo’lsa, u holda oxirgi tengsizlik sodda geometrik ma’noga ega, chunki

m(b  a)
va M (b  a)

ko’paytmalar mos ravishda

“ichki chizilgan”
AL₁L₂ B va “tashqi chizilgan”


AL₁ L₂B to’gri to’rtburchaklarning yuzalariga teng.

2. Aniq integral

Bundan avvalgi paragrafdagi masalani o’rganishda davom etamiz. [x₀ , x₁],[x₁, x₂ ],...,[x_n1, x_n ] kesmalardan har birida bittadan nuqta olib, ularni

₁,₂ ,...,_n
bilan belgilaymiz (209-rasm),


x₀  ₁  x₁, x₁  ₂  x₂ , x_n1  _n  x_n

Bu nuqtalarning har birida
f (₁), f (₂ ),..., f (_n )
funksiyaning qiymatlarini hisoblaymiz. Endi

s_n 
f (₁)x₁ 
f (₂ )x₂  ... 



f (_n )x_n  _ f (_i )x_i
i1
(1)

yig’indini tuzamiz. Bu yig’indi bo’lganda
f (x)
funksiyaning [a,b]
kesmadagi integral yig’indisi deyiladi. Ixtiyoriy _i
nuqta [x_i1, x_i ] kesmaga tegishli

va barcha

x_i  0 bo’lganligi uchun

m_i 
f (_i )  M_i

demak,
m_i x_i 
f (_i )x_i  M_ix_i

_m_i x_i  _ f (_i )x_i  _M_ix_i

yoki
i1

s_n  s_n  s_n
i1
i1
(2)

Oxirgi tengsizlikning ma’nosi shuki,
f (x)  0
bo’lganda yuzasi
s_n ga teng bo’lgan yuzani chegaralovchi siniq chiziq “ichki chizilgan” va

“tashqi chizilgan” siniq chiziqlar orasida joylashgan.

s_n yig’indi [a,b]
kesmani [x_i1, x_i ] kesmalrga bo’lish usuliga va shu kesmalar ichida _i

nuqtalarning tanlanishiga bog’liq.

Endi
max[x_i1, x_i ] bilan [x₀ , x₁],[x₁, x₂ ],...,[x_n1, x_n ]
kesmalar uzunliklaridan eng kattasini belgilaymiz. [a,b]
kesma [x_i1, x_i ]
kesmalarga shunday bo’lamizki,

max[x_i1, x_i ]  0
bo’lsin. Albatta, bunda, kesmalar soni n cheksizlikka intiladi. Har bir bo’lish uchun tegishli _i
qiymatlarni tanlab

_ f (_i )x_i
i1

integral yig’indini tuzish mumkin. Shunday qilib, bo’linishlar ketma-ketligi va unga mos integral yig’indilar ketma-ketligi haqida gapirish mumkin. Shunday

bir ketma-ketlikni tanlasakki, max x_i  0
bo’lsa, u holda yig’indi I limitga intilsin.

Agar [a,b] kesmani max x_i  0 bo’ladigan qilib bo’lganda va _i
nuqtalar ixtiyoriy tanlashganda



_ f (_i )x_i
i1
yig’indi o’sha I limitga intilsa, u holda


b
f (x)

- integral osti funksiya - [a,b] kesmada integrallanuvchi, I limit esa [a,b] kesmada aniqlangan

belgilaymiz va

f (x)
funksiyaning aniq integrali deyiladi. Uni
_ f (x)dx
a
deb

_n b
lim _ f (_i )x_i  _ f (x)dx
max x_i 0 _{i1 a}
a soni integralning quyi limiti, b - yuqori limiti deyiladi. [a,b] kesma integrallash kesmasi, x esa integrallash o’zgaruvchisi deyiladi.

Agar
y  f (x) funksiya [a,b]
kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u kesmada integrallanuvchidir.

Albatta, agar
x₁  0
bo’ladigan qandaydir bo’linishlar ketma-ketligida
f (x)
funksiya s_n

va s_n

integral yig’indilarni qarasak, u holda bu yig’indilar I

limitga -
f (x)
funksiyadan olingan aniq integralga intiladi:

_n b
lim _m_i x_i  _ f (x)dx
max x_i 0 <sub>i1 a


n</sub> b
lim _M_i x_i  _ f (x)dx
max x_i 0 _{i1 a}

Uzulishli funksiyalar orasida integrallanadigan funksiyalar ham, integrallanmaydigan funksiyalar ham bor.

Agar
y  f (x) integral osti funksiyaning grafigini qursak, u holda
f (x)  0 bo’lganda

b
_ f (x)dx
a

integral son jihatdan ko’rsatilgan egri chiziq x  a , x  b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng.

Shuning uchun, agar
y  f (x) egri chiziq x  a , x  b to’g’ri chiziqlar va Ox o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash kerak bo’lsa, u holda bu Q yuza

formula bilan hisoblanadi.

b
Q  _ f (x)dx
a

(3)

Izox 1. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, aniq integral faqat f (x) funksiyaning ko’rinishiga va integrallash chegaralariga bog’liq, lekin integral o’zgaruvchisiga bog’liq emas. Shuning uchun aniq
integralning qiymatini o’zgartirmagan holda x harfining o’rniga ixtiyoriy boshqa xarfni olishimiz mukin:


b b b
_ f (x)dx  _ f (t)dt  ...  _ f (z)dz

1. 
   a a
   

Aniq integral tushunchasini kiritayotganda bu a  b deb faraz qildik. b  a bo’lgan holda ta’rifga ko’ra

2. 
   a
   

_ f (x)dx  _ f (x)dx
a b