Aniq integral. Nyuton-Leybnits formulasi

Masalan,

0 5
_ x²dx  _ x²dx 5 0

Endi a  b

bo’lganda ta’rifga ko’ra, ixtiyoriy

f (x)

funksiya uchun

a
_ f (x)dx  0
a
(5)

tenglik o’rinli.

Bu geometrik nuqtai nazardan ham tabiiy. Haqiqatan ham egri chiziqli trapetsiya asosi nolga teng uzunlikka ega, demak, uning yuzasi nolga teng.

3. Aniq integralning asosiy xossalari

1-xossa. O’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: agar A  const
bo’lsa, u holda

b b
_ Af (x)dx  A_ f (x)dx

1. 
   a
   

Isboti.

(1)

b _n
 Af (x)dx  lim _ Af (_i )x_i 
_a max x0 _i1
n b
 A lim _ f (_i )x_i A_ f (x)dx
max x0 _{i1 a}

2. 
   xossa. Bir necha funksiyalarning algebraic yig’indisidan olingan aniq integral qo’shiluvchilardan olingan integrallarning algebraic yig’indisiga teng. Ikki qo’shiluvchi bo’lgan holda
   

2. 
   b b
   

_ ^{f1(x)  f2 (x)}^{dx } _ ^{f1(x)dx } _ ^{f2 (x)dx}
(2)

1. 
   a a
   

Isboti.

2. 
   _n
   

_ ^{f1(x)  f2 (x)}^{dx  lim} _^{[ f1(}_i ^{) }
f₂ (_i )]x_i 

1. 
   max x0 _i1
   

n
 lim
_n
f ( )x  _
f ( )x ^ 


max x0 ^{ 1 i i} i1
2
i1
i i _

n n
 lim _ f₁(_i )x_i  lim _ f₂ (_i )x_i 
max x0 _i1 max x0 _i1


b b
 _ f₁(x)dx  _ f₂ (x)dx
a a

Qo’shiluvchi soni ixtiyoriy bo’lganda ham shunaqa isbotlanadi.

1- va 2- xossalar a  b

hol uchun isbotlangan bo’lsada, ular a  b

holda ham o’rinli.

Ammo quyidagi xossa faqat a  b

holda o’rinli:

2. xossa. Agar [a,b]

kesmada ( a  b )
f (x)
va (x)

funksiyalar

f (x)  (x)

shartni qanoatlantirsa, u holda

2. 
   b
   

_ f (x)dx  _(x)dx
(3)

1. 
   a
   

Isboti. Quyidagi ayirmani qaraymiz:

2. 
   b b
   

_(x)dx  _ f (x)dx  _[(x) 
f (x)]dx 

a a a

 lim

max x0
_[(_i ) 

n
i1
f (_i )]x_i

Bu yerda har bir ayirma,
(_i ) 
f (_i )  0 , x_i
 0 . Demak, yig’indining har bir qo’shiluvchisi nomanfiy, butun

yig’indi ham nomanfiy va uning limiti ham nomanfiy, ya’ni

b
_[( x) 
a

yoki
f ( x)]dx  0

b b
_( x)dx  _

1. 
   a
   

f (x)dx  0

bu yerdan (3) tengsizlik kelib chiqadi.

Agar
f (x)  0
va (x)  0
bo’lsa, aytib o’tilgan xossa geometric ma’noga ega (213-rasm).
(x) 
f (x)

bo’lganligi uchun emas.
aA₁B₁b egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi
aA₂B₂b egri chiziqli trapetsiya yuzasidan kata

2. 
   xossa. Agar m va M - bo’lsa, u holda
   

f (x)
funksiyaning [a,b]
kesmadagi eng kichik va eng kata qiymatlari bo’lib, a  b

b
m(b  a)  _
a


f (x)dx  M (b  a)

(4)

Isbot. Shartga ko’ra

m  f (x)  M

(3) xossa asosida topamiz:

2. 
   b b
   

_ mdx  _ f (x)dx  _ M dx
(4’)

a a a

Ammo

b
_mdx  m(b  a)
a
b
_ M dx  M (b  a)
a

Bu ifodalarni (4’) tengsizlikka qo’shib (4) tengsizlikni olamiz.

Agar yuzi
f (x)  0
aA₁B₁b va
bo’lsa, u holda bu xossa geometric talqinga ega (214-rasm): aABb egri chiziqli trapetsiyaning
aA₂B₂b to’g’ri to’rtburchaklarning yuzalari orasida joylashgan.

2. 
   xossa. (o’rta qiymat haqida teorema). Agar shunday  nuqta topiladiki,
   

f (x)
funksiya [a,b]
kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada

b
_ f (x)dx  (b  a) f ( )
a

(5)

tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot. Aniqlik uchun a  b

bo’lsin. Agar m va M mos ravishda

f (x) ning [a,b]

kesmadagi eng kichik va eng

kata qiymatlari bo’lsa, u holda (4) formulaga binoan


₁ b

a
^{m } b  a ^
f (x)dx  M

Bu yerdan

₁ b

a
b  a ^
f (x)dx   , bu yerda m    M

f (x) funksiya uzluksiz bo’lganligi uchun, u m va M orasidagi hamma qiymatlarni qabul qiladi. Demak,

 (a  
 b)
biror qiymatida
  f ( )
bo’ladi, ya’ni

b
_ f (x)dx 
a
f ( )(b  a)

2. 
   xossa. Ixtiyoriy uchta a,b,c sonlar uchun
   

b c b

_ f (x)dx  _ f (x)dx  _
f (x)dx
(6)

a a c

Isbot. a  c  b
deb faraz qilamiz va
f (x)
funksiya uchun [a,b]
kesmada integral yig’indisini topamiz.

Integral yig’indining limiti [a,b] kesmani bo’laklarga bo’lish usuliga bog’liq emas, shuning uchun biz [a,b]

b

kesmalarga shunday ajratamizki, c nuqta bo’linish nuqtasi bo’lsin. So’ngra yig’indilarga ajratamiz:
_ integral yig’indini ikkita
a

c

b
_ va _
a c

b c b

U holda


_ f (_i )x_i  _ f (_i )x_i  _ f (_i )x_i
a a c

Oxirgi tenglikda maxx_i  0
bo’lganda limitga o’tib (6) munosabatni olamiz.

Agar a  b  c
bo’lsa, isbotlanganlar asosida yozamiz:

c b c
_ f (x)dx  _ f (x)dx  _ f (x)dx

1. 
   a b
   

yoki

2. 
   c c
   

_ f (x)dx  _ f (x)dx  _ f (x)dx
a a b

Ammo 2-§dagi (4) formulaga asosan

c b
_ f (x)dx  _ f (x)dx
b c

Shuning uchun

b c b
_ f (x)dx  _ f (x)dx  _ f (x)dx
a a c

215-rasmda 6-xossaning
f (x)  0 , a  c  b
bo’lganda geometric talqini aks ettirilgan: aABb trapetsiyaning yuzi aACc va cCBb trapetsiyalar

yuzalarining yig’indisiga teng.

4. Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi

b
_ f (x)dx
a

Aniq integralda quyi a chegara mahkamlangan, yuqori b chegara esa o’zgraib tursin. U holda integralning qiymati ham o’zgarib turadi, ya’ni integral yuqori chegaraning funksiyasi bo’lib qoladi.

Yuqori chegarani x bilan, integral o’zgaruvchini t bilan belgilaymiz:

x
_ f (t)dt
a

Integralga ega bo’lamiz. a o’zgarmas son bo’lganda bu integral x yuqori chegaraning funksiyasi bo’ladi. Bu funksiyani biz bilan belgilaymiz:

(x)

Agar

f (t)

- nomanfiy funksiya bo’lsa, u holda

(x)

x
(x)  _ f (t)dt
a

miqdor son jihatdan aAXx egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng (216-rasm).

x o’zgarganda bu yuza o’zgarishi ochiq ravshan.

(x)
funksiyaning hosilasini topamiz, ya’ni (1) integraldan yuqori chegara bo’yicha hosila olamiz.

Teorema 1. Agar

f (x)

uzluksiz funksiya va

x
(x)  _ f (t)dt
a

bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli.
'(x) 
f (x)

Boshqacha aytganda, aniq integraldan yuqori chegara bo’yicha olingan hosila integral ostidagi funksiyaga teng.

Isbot. x argumentga musbat yoki manfiy x
orttirma beramiz; u holda topamiz (6-xossa):

xx x xx

(x  x)  _ f (t)dt  _ f (t)dt  _
f (t)dt

(x)

funksiyaning orttirmasi

a a x

x xx x
  (x  x)  (x)  _ f (t)dt  _ f (t)dt  _ f (t)dt

ga teng, ya’ni

a x a

xx
  _
x


f (t)dt

Oxirgi integralga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llaymiz (5-xossa).

bu yerda  miqdor x va x  x
orasida joylashgan.
 
f ( )(x  x  x) 
f ( )x

Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatan topamiz:
 _
x


f ( )x _
x
f ( )

Demak,

'(x)  lim ^  lim

f ( )

Ammo   x da

x  0

bo’lganligi uchun

x0 _x x0

f (x)
uzliksiz bo’lganligi uchun
lim
x0
f ( )  lim f ( )
 x

Shunday qilib,
'(x) 
f (x). Teorema isbotlandi.
lim f ( ) 
 x
f (x)

Teorema 2. Agar
F (x)
funksiya
f (x)
uzluksiz funksiyaning qandaydir boshlang’ichi bo’lsa, u holda

b
_ f (x)dx  F (b)  F (a)
a

formula o’rinli. Bu formula Nyuton-Leybnits formulasi deyiladi.

(2)

Isbot.

F (x)


funksiya


f (x)

funksiyaning biror boshlang’ichi bo’lsin. 1-teoremaga ko’ra,

x
_ f (t)dt
a

funksiya ham

f (x)

funksiyaning

boshlang’ichi bo’ladi. Ammo berilgan funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang’ichlari bir biridan o’zgarmas C^* qo’shiluvchiga farq qiladi.

Endi C^* o’zgarmasni toppish uchun bu tenglikda x  a

x
_ f (t)dt  F (x)  C^*
a

deb olamiz, u holda

(3)

yoki
a

_ f (t)dt  F (a)  C^*
a

0  F(a)  C^*

Bu yerdan C^*  F (a) . Demak,

Endi x  b deb olib, Nyuton-Leybnits formulasini olamiz:
x
_ f (t)dt  F (x)  F (a)
a

yoki integrallash o’rniga x ni qo’ysak

b
_ f (t)dt  F (b)  F (a)
a

b
_ f (x)dx  F (b)  F (a)
a


F(b)  F(a) ayirma F boshlang’ich funksiyaning tanlanishiga bog’liq emas.
Agar

a
belgilash kiritsak
F(b)  F(a)  F(x) |^b

b

a
_ f (x)dx  F (x) |^b  F (b)  F (a)
a


Nyuton-Leybnits formula aniq integrallarni hisoblashning qulay usulidir.