Aniq integral tabiat va texnikaning bir qancha masalalarini yechishda

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA-MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI TOSHKENT DAVLAT IQTISODIYOT UNIVERSITETI TASHKENT STATE UNIVERSITY OF ECONOMICS TAQDIMOT Mavzu. Aniq integralning tatbiqlari Bajardi: 1- bosqich MSD – 15 guruhi talabasi Qalandarova Kamola Rasul qizi Qabul qiluvchi: ________________ Toshkent – 2023

Aniq integral tabiat va texnikaning bir qancha masalalarini yechishda,
xususan har xil geometrik va fizik kattaliklarni hisoblashda keng qo‘llaniladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasi
Tekislikda to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan va , kesmada uzluksiz va manfiy bo‘lmafan , ya’ni funksiya aniqlangan bo‘lsin.
Yuqoridan funksiya grafigining yoyi bilan, quyidan o‘qning kesmasi bilan, yon tomonlaridan va to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi (2-shakl).
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga ta’rif beramiz. kesmani ta kichik kesmalarga bo‘lamiz: bo‘linishsh nuqtalarining abssissalarini bilan belgilaymiz. bo‘lish nuqtalari to‘plamini kesmanining bo‘linishi deymiz. bo‘linish nuqtalari orqali o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlar trapetsiyani asoslari bo‘lgan ta bo‘lakka bo‘ladi. trapet-siyaning yuzasi ta tasma yuzalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi. yetarlicha katta va barcha kesmalar kichik bo‘lganida har bir ta tasmaning yuzasini husoblash oson bo‘lgan mos to‘g‘ri to‘trburchakning yuzasi bilan almashtirish mumkin bo‘ladi. Har bir kesmada biror nuqtani tanlaymiz, funk-siyaning bu nuqtadagi qiymati ni hisoblaymiz va uni to‘g‘ri to‘rtburchakning balandligi deb qabul qilamiz. kesma kichik bo‘lganida uzluksiz funksiya bu kesmada kichik o‘zgarishga ega bo‘ladi. Shu sababli bu kesmalarda funksiyani o‘zgarmas va taqriban teng deyish mumkin.
Agar [a,b] kesmada f (x) ³ 0 bolsa, u holda, y = f ( x) egri chiziq, Ox oq hamda x =a , x =b togri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
()
b
a Q = ò f x dx (1)
Agar f (x) £ 0 [a,b] da bolsa, u holda () b
a ò f x dx aniq integral ham £ 0 boladi.
Absolyut qiymati jihatidan u mos egri chiziqli trapetsiyaning Q yuziga teng:
()
b
a -Q= ò f x dx
Agar f (x) funksiya [a,b] kesmada chekli marta ishorasini o’zgartirsa, u holda butun [a,b] kesma bo’yicha olingan intervali qism-qism kesmalar bo’yicha integrallar yig’indisiga ajratamiz. Integral f (x) ³ 0 bolgan joylarda musbat va f (x) £ 0 bolganda manfiy boladi. Bunday holda
| ( ) |
b
a Q = ò f x dx
bo’ladi.
Demak, egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash masalasi (14.2) ko‘rinishdagi limitni hisoblashga keltiriladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasiga qaytamiz. (14.2) tenglikning o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat. U holda (14.5) formuladan aniq integralning geometrik ma’nosi kelib chiqadi: agar funksiya kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda kesmada funksiyadan olingan aniq integral chiziqlar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga teng.
Misol
integralni uning geometrik ma’nosiga tayanib hisoblaymiz.
Bunda ning dan gacha o‘zgarishida tenglamasi bo‘lgan
chiziq aylananing yuqori bo‘lagidan iborat bo‘ladi. Shu sababli chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya doiraning yuqori qismidan tashkil topadi. Uning yuzi ga teng.
Endi bosib o‘tilgan yo‘l masalasiga o‘tamiz. (14.3) tenglikning o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat bo‘lgani uchun (14.5) formuladan ushbu xulosaga kelamiz: agar funksiya , kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda tezlikdan vaqt oralig‘ida olingan aniq integral material nuqtaning dan gacha vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan yo‘liga teng.
Bu jumla aniq integralning mexanik ma’nosini anglatadi.
Aniq integralning xossalari
Agar integral ostidagi funksiya birga teng bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
Ozgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin, ya’ni
, .
Chekli sоndаgi funktsiyalar algebraik yig‘indisining aniq integrali
qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni
Аgаr kesmа bir nechа qismgа bo‘lingan bo‘lsa, u hоldа kesma bo‘yicha оlingаn аniq integrаl hаr bir qism bo‘yichа оlingаn аniq integrаllаr yig‘indisigа teng bo‘ladi.
E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT