Aniq integral

Aniq integral

Reja:

1. Аniq intеgrаl tushunchаsigа оlib kеlаdigаn mаsаlаlаr.

2. Аniq intеgrаl vа uning tа`rifi.

3. Аniq intеgrаlning хоssаlаri

4. Yuqоri chеgаrаsi o`zgаruvchi bo`lgаn intеgrаl vа Nyutоn-Lеybnis

fоrmulаsi.

5. Аniq intеgrаldа o`zgаruvchini аlmаshtirish.

6. Аniq intеgrаlni bo`lаklаb intеgrаllаsh.

Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar.

Egri chiziqli trapesiyaning yuzini topish.

Yuqoridan tenglamasi y=f(x) egri chiziq bilan , pastdan OХ o`qi bilan, yon tomonlaridan x=a, x=b to`g`ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyaning yuzini toping.
Faraz qilaylik kesmada y=f(x) funksiya aniqlangan, uzluksiz va bo`lsin. kesmani nuqtalar bilan n ta bo`lakchalarga bo`lib va bo`linish nuqtalaridan OY o`qiga parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazsak natijada acdb egri chiziqli trapesiyamiz n ta kichik egri chiziqli trapesiyalarga (trapesiyachalarga) ajraladi.

Endi har bir kesmachada ixtiyoriy nušta tanlab olib, f(x) funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini f( ) deb belgilaylik. Bu holda har bir kichik egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan balandligi f( ), asosi bo`lgan to`g`ri to`rtburchakning yuziga teng bo`ladi:

y y=f(x) d c 0 x0=a x1 xn-1 b=xn

Butun ya`ni acdb egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan hamma kichik egri chiziqli trapesiyalar yuzalarining yig`indisiga teng bo`ladi:
(1)
Agar [x<sub>i-1</sub> ,x<sub>i</sub> ] kesmalar uzunliklarining eng kattasini ya`ni desak, da kesmaning mayda bo`lakchalarga bo`linish soni cheksiz o`sadi, natijada (1) yuza berilgan acdb egri chiziqli trapesiya yuziga cheksiz yaqinlashib boradi. Shuning uchun acdb egri chiziqli trapesiyaning yuzini
(2)
desak bo`ladi.

2. Kuch ta`sirida bajarilgan ishni hisoblash masalasi.

Faraz qilaylik biror D moddiy nuqtaga OХ o`qi yo`nalishida biror o`zgaruvchan F=f(x) kuch ta`sir qilsin. Moddiy D nuqtaning F kuch ta`sirida biror a nuqtadan b nuqtagacha harakatlangandagi bajargan ishini hisoblaylik.

kesmani n ta [xi-1 ,xi ] bo`lakchalarga bo`lib, har bir [xi-1 ,xi ] bo`lakchada kuchni deyarli

0 a D b x

o`zgarmas deb qarasak, u holda har bir bo`lakchada bajarilgan ish taxminan bo`ladi. Bu yerda , esa kesmadagi ta`sir etayotgan kuch.
U holda da F=f(x) kuch ta`sirida bajarilgan ish taxminan



Agar desak va bo`lsa, u holda bajarilgan ish quyidagicha bo`ladi:
(3)


Juda ko`p texnika, mexanika va fizika masalalarini yechishda (2),(3) ko`rinishdagi yig`indilarning limitini hisoblashga to`g`ri keladi.

2. Aniq integral va uning ta`rifi.

y=f(x) funksiya kesmada aniqlangan bo`lsin. ni nuqtalar bilan n ta bo`lakchalarga ajratib va har bir
[x_i-1 ,x_i ] kesmada ixtiyoriy nuqta olib, bu nuqtalardagi f(x) funksiyaning qiymatlarini deylik. [x_i-1 ,x_i ] kesmalarning uzunliklarini deb belgilab quyidagi ko`paytmalar yig`indisini tuzaylik:
(1)

1. 
   ga f(x) funksiyaning kesmadagi integral yig`indisi deyiladi.
   

deylik