Aniq integral

Teorema. Agar f(u) funksiya u= nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda integraldan yuqori chegarasi bo`yicha olingan hosila integral ostidagi funksiyaga teng bo`lib, unda integrallash o`zgaruvchisi o`rniga integralning yuqori chegarasi qo`yiladi, ya`ni
yoki =f(x) bo`ladi.
Isboti. x ga orttirma bersak funksiya ham orttirma oladi:

. Agar integralga o`rta qiymat xaqidagi teoremani tatbiq qilsak ( ) bo`lib, bo`ladi.
hosilaning ta`rifiga ko`ra
Chunki da demak bo`lgani uchun da ravshan. Shunday qilib
Bu isbot qilingan, matematik analiz kursining asosiy teoremalarining biri bo`lgan teoremadan ko`rinadiki [a,b] da uzluksiz bo`lgan har qanday f(x) funksiya uchun aniq integral boshlang`ich funksiya bo`lar ekan. Uzluksiz bo`lgan f(x) funksiyaning boshlang`ich funksiyasi cheksiz ko`p bo`lgani uchun ularning ixtiyoriy bittasini F(x) boshqasini esa desak, ular bir-biridan o`zgarmas songa farq qiladi:
F(x)= +C
O`zgarmas C ni topish uchun, x=a desak F(a)= +C C=F(a), x=b desak
F(b)= yoki -
Nyuton-Leybnis formulasi kelib chiqadi.
F(b)-F(a)= deb ham belgilanadi.


Misol.

5. Aniq integralda o`zgaruvchini almashtirish.

Faraz qilaylik bizga kesmada integrallanuvchi bo`lgan funksiya f(x) berilgan bo`lib, undan shu kesmada olingan (1) aniq integral mavjud bo`lsin.
Bizning maqsad shu (1) aniq integralni hisoblash uchun o`zgaruvchini shunday almashtiraylikki natijada hosil bo`ladigan aniq integral berilgan aniq integralga nisbatan ancha sodda bo`lsin.
Teorema. Agar (1) da (2) almashtirish bajarganimizda funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa :

t d c x b a

funksiya [c,d] kesmada aniqlangan va uzluksiz hosilaga ega bo`lsin. 2. Yangi o`zgaruvchi t [c,d] kesmada o`zgarganda funksiyaning qiymati dan chiqmasin. 3. bo`lsin, bu holda (3) tenglik o`rinli bo`ladi.

Isboti. f(x) funksiya da uzluksiz bo`lgani uchun uning shu kesmadagi boshlang`ich funksiyasini F(x) desak u holda Nyuton-Leybnis formulasiga ko`ra (4) tenglik o`rinli bo`ladi. Agar desak F(x)=F( ) funksiyaning funksiya uchun boshlang`ich funksiya ekanligini ko`rish qiyin emas.
haqiqatan chunki
desak [ ]=f[ ].
Demak Nyuton-Leybnis formulasiga ko`ra
=F(b)-F(a)=( (4) ga ko`ra )=
Misol yechganda integral ostidagi funksiya yuqoridagi shartlarni qanoatlantirishi shart.
Misol. 1)
2.

6. Aniq integralni bo`laklab integrallash.

Teorema. Agar u(x), v(x) funksiyalar kesmada uzluksiz bo`lgan va hosilalarga ega bo`lsa, u holda

(1)
formula o`rinli bo`ladi.
Isboti. Haqiqatan [u(x) v(x)]`=u`(x)v(x)+u(x)v`(x) dan ko`rinadiki u(x) v(x) funksiya u`(x)v(x)+u(x)v`(x) funksiya uchun da boshlang`ich funksiya, bu holda Nyuton-Leybnis formulasiga ko`ra
yoki yoki
Bu yerdagi asosiy maqsad integralda u va dv deb shunday tanlash kerakki natijada integral integralga nisbatan ancha sodda bo`lish kerak.

1. 
   
   

Xulosa.

Aniq integral, funksiya integralini hisoblashning bir usuli hisoblanadi. Aniq integral, funksiyaning belgilangan chegaralar orasidagi sahifasini hisoblashga yordam beradi.