Aniq integral

Ta`rif. Agar da aniqlangan f(x) funksiya uchun tuzilgan (1) integral yig`indi , da ni ixtiyoriy n ta bo`lakchalarga bo`lish usuliga va har bir [x_i-1 ,x_i ] bo`lakchada ixtiyoriy nuqtani tanlab olish usuliga bog`liq bo`lmagan limitga ega bo`lsa, bu limitga kesmada f(x) funksiyadan olingan aniq integral deyiladi va

ko`rinishda yoziladi.
Shunday qilib ta`rifga ko`ra (2)
a,b-larga mos ravishda integralning quyi va yuqori chegarasi, ga integrallash sohasi deyiladi.
Agar f(x) funksiya uchun (2) limit mavjud bo`lsa, f(x) funksiyani kesmada integrallanuvchi funksiya deyiladi.
Aniq integralning geometrik ma`nosi yuqoridagi
1-masaladagi egri chiziqli trapesiyaning yuzini beradi:
=
2-masalada esa bajarilgan ish F=f(x) kuchdan olingan integralga teng:
=


1-teorema. kesmada uzluksiz bo`lgan har qanday f(x) funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo`ladi.
2-teorema. f(x) funksiya da integrallanuvchi bo`lishi uchun shu kesmada chegaralangan bo`lishi zarur.
1-eslatma. da chegaralanmagan funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo`lmaydi.
2-eslatma. Agar f(x) funksiya da chekli, ya`ni sanoqli uzilish nuqtalariga ega bo`lib, chegaralangan bo`lsa, bu funksiya shu kesmada integrallanuvchi bo`ladi.
Agar a>b bo`lsa =- bo`ladi, chunki bo`lib bo`ladi. Agar a=b bo`lsa =0 bo`ladi.
Integral o`zgaruvchini har qanday harf bilan belgilash mumkin:
= = =
3. Aniq integralning xossalari.


1-xossa. O`zgarmas ko`paytuvchini aniq integral belgisidan tashqari chiqarish mumkin:
A (A-o`zgarmas son )


Isboti. = = = A


Keyingi xossalari ham aniq integralning ta`rifidan va limitning xossalaridan foydalanib osongina isbotlanadi. Shuning uchun biz ularning isbotini o`quvchilarga havola qilib, ba`zilarining geometrik ma`nosini ko`rsatib ketamiz.
2-xossa.
3-xossa. Agar da f(x) va funksiyalar f(x) tengsizlikni qanoatlantirsalar, u holda munosabat o`rinli bo`ladi.

Isboti. Geometrik nuqtai nazardan ko`raylik. Agar f(x)>0 , >0 bo`lib, f(x) bo`lsa u holda aA1B1b egri chiziqli trapesiyaning yuzi aA2B2b egri chiziqli trapesiyaning yuzidan kichik bo`lmaydi.

y y= (x) A1 B1 y=f(x) A2 B2 0 a c b x

4-xossa. Agar f(x) funksiya [a,c],[c,b] (a
bo`ladi.
Bu xossaning geometrik ma`nosi: asosi [a,b] bo`lgan egri chiziqli trapesiyaning yuzi asoslari [a,c] va [c,b] bo`lgan egri chiziqli trapesiyalar yuzalarining yig`indisiga teng bo`ladi.
5-xossa. Agar [a,b] da differensiallanuvchi bo`lgan f(x) funksiyaning shu kesmadagi eng kichik va eng katta qiymatlari mos ravishda m va M bo`lib, bo`lsa, u holda

munosabat o`rinli bo`ladi.
Isboti.
6-xossa. (O`rta qiymat haqidagi teorema). Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda bu kesmada shunday nuqta topiladiki, bu nuqtada

munosabat o`rinli bo`ladi.

Isboti. Geometrik nuqtai nazardan aA1B1b egri chiziqli trapesiyaning yuzi taxminan aABb to`g`ri to`rtburchakning yuziga teng.

y B1 A B A1 0 a  b x

4. Yuqori chegarasi o`zgaruvchi bo`lgan integral va
Nyuton-Leybnis formulasi.


Faraz qilaylik [a,b] kesmada integrallanuvchi bo`lgan f(x) funksiyadan olingan integral

bo`lsin
Biz bilamizki integral o`zgaruvchini istalgan harf bilan belgilash mumkin, shuning uchun
=
deylik.
Biz bilamizki agar f(x) funksiya [a,b] da integrallanuvchi bo`lsa, [a,x] da ( ) ya`ni ) ham integrallanuvchi bo`lib, integral qiymati x ning funksiyasi bo`ladi.

(1) (1) integral acdx egri chiziqli trapesiyaning yuzini ifodalaydi. Agar [a,b] da x o`zgarsa ham o`zgarishi ravshan.

y d c 0 a x  x+x b x