Aniq integral yordamida tekis shakilni yuzini hisoblash

1. 
   Aniq integral yordamida tekis shakilni yuzini hisoblash
   

Aniq integral yordamida egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi, o‘zgaruvchi kuch bajargan ishni va mehnat unumdorligi o‘zgaruvchan bo‘lgan holda ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini topish mumkinligini oldin ko‘rib o‘tgan edik. Ammo aniq integralning amaliy tatbiqlari bu bilan chegaralanib qolmasdan, bulardan tashqari uning yordamida yana juda ko‘p masalalar o‘z yechimini topadi. Bu paragrafda ulardan ayrimlari bilan tanishamiz.

1. 
   Tekislikdagi geometrik shakllarning yuzalarini hisoblash. Bizga ma’lumki, y=f(x)≥0 funksiya grafigi, х=а va х=b vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda y=0 , ya’ni OX koordinata o‘qi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi aniq integral orqali
   

(1)
formula bilan hisoblanadi. Bu formulani umumiyroq hollarda qaraymiz.

• 
  Agar [а,b] kesmada f(x)0 bo‘lsa, unda tegishli egri chiziqli trapetsiya OX o‘qidan pastda joylashgan va aniq integral qiymati manfiy son bo‘ladi. Shu sababli bu holda egri chiziqli trapetsiya yuzasi
  

(2)
formula orqali topiladi.
Masalan, x[π/2,π] holda y=cosx≤0 va bunda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiya yuzasi
.

• 
  Agar [а,b] kesmada f(x) ishorasi o‘zgaruvchan funksiya bo‘lsa, unda tegishli egri chiziqli trapetsiyaning bir qismi OX o‘qidan yuqorida , bir qismi esa pastda joylashgan bo‘ladi (keyingi betdagi 76-rasmga qarang).
  

Bu holda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi (1) va (2) formulalardan foydalanib topiladi va ularni birlashtirib
(3)
ko‘rinishda yozish mumkin.


1-rasm
Masalan, x[0,π] holda y=cosx funksiya [0,π/2) sohada musbat, (π/2,π] sohada esa manfiy qiymatlar qabul etadi. Bunda hosil bo‘ladigan egri chiziqli trapetsiya yuzasi
.

• 
  у=f(x) vа у=g(x) [f(x)≥g(x)] egri chiziqlar hamda х=а vа х=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan geometrik shaklning (77-rasm) S yuzasini hisoblash talab etiladi.
  

2-rasm
Chizmadan va aniq integralning geometrik ma’nosidan foydalanib, quyidagi tengliklarni yoza olamiz:
. (4)
Masalan, y=x² va y=x, x=2 va x=4 chiziqlar bilan chegaralangan yassi geometrik shakl yuzasini (4) formuladan foydalanib hisoblaymiz:
.

• 
  Endi x=φ(t) , y=ψ(t) ( t[α, β]) parametrik tenglama bilan berilgan chiziqdan hosil qilingan egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash masalasini qaraymiz. Unda (1) formuladagi aniq integralda x o‘zgaruvchini t o‘zgaruvchi bilan almashtirib, quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
  

. (5)
Misol sifatida yarim o‘qlari a va b bo‘lgan ellipsning S yuzasini topamiz. Bu ellipsning parametrik tenglamasi x=acost, y=bsint (t[0,2π]) ekanligi bizga ma’lum. Ellipsning simmetrikligidan hamda (5) formuladan foydalanib, uning yuzasi S uchun


formulaga ega bo‘lamiz. Bunda a=b=R desak, unda ellips aylanaga o‘tadi va yuqoridagi formuladan doira yuzasi uchun bizga tanish bo‘lgan S=πR² formula kelib chiqadi.
funksiya grafigi, ikkita to’g’ri chiziqlar va o’qi bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Bunday egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(1)
formula bilan hisoblanadi
Umumiy hol, ya’ni chiziqlar bilan chegaralangan yuza
(2)
aniq integralga teng bo’ladi .
chiziqlar bilan chegaralangan yuza
(3)
aniq integral bilan hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik

tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda shu egri chiziq , to’g’ri chiziqlar va o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(4)
formula bo’yicha hisoblanadi, bunda va tenglamalardan aniqlanadi.
funksiya grafigi va , ikkita nur bilan chegaralangan figura egri chiziqli sektor deyiladi, bunda va qutb koordinatalari. Egri chiziqli sektorning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.
AB egri chiziq qutb koordinatalarida formula bilan berilgan va funksiya kesmada uzluksiz bo’lsin (4-rasm)
3-rasm
Ushbu egri chiziq va qutb o’qlari bilan va burchak hosil qiluvchi 2 ta nurlar bilan chegaralangan egri chiziqli sektorning yuzini aniqlaymiz.
Buning uchun berilgan yuzani
nurlar bilan n ta ixtiyoriy qismlarga bo’lamiz. O’tkazilgan nurlar orasidagi burchaklarni bilan belgilaymiz.
bilan orasidagi biror burchakka mos nurning uzunligini orqali belgilaymiz. Radiusi va markaziy burchagi bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzi gat eng bo’ladi.
Ushbu yig’indi

Zinapoyasimon sektorning yuzini beradi.
Bu yig’indi kesmada funksiyaning integral yig’indisi bo’lgani sababli uning limiti da aniq integralga teng. Bu burchak ichida qanday ning olishimizga bog’liq emas. Demak, OAV sektorning yuzi:
(7)
4-misol. kardioida bilan chegaralangan figuraning yuzini hisoblang.

S₁
2a
5-rasm

2.