Aniq integral yordamida tekis shakilni yuzini hisoblash

3.2. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi.
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziqning tenglamasi
(7)
Bo’lsin. Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o’tish formulasi: yoki (7) dan foydalansak:

Bu tenglamalarga egri chiziqning parametric tenglamalari deb qarab, yoy uzunligini hisoblash uchun (4) formulani tatbiq qilamiz.

U holda:

Demak,
(8)
Misollar.

1. 
   x²+u²=r² aylana uzunligi hisoblansin.
   

Yechish. Dastlab aylananing 1-kvad rantda yotgan to’trdan bir qismining uzunligini hisoblaymiz. U holda AB yoyning


Butun aylananing uzunligi:
2) kardioidaning uzunligi topilsin. Kardioida qutb o’qiga nisbatan simmaetrikdir. qutb burchagini 0 dan gacha o’zgartirib, izlanayotgan uzunlikning yarmini topamiz. (5-rasm)
(8) formuladan foydalanamiz, bunda



3) elllipsning uzunligi hisoblansib, bunda a>b
Yechish. (4) formuladan foydalanamiz. Avval yoy uzunligining ¼ qismini hisoblaymiz.


bunda
Demak,

II BOB
2.1 Aniq integral yordamida aylama jism hajmini xisoblash va misollar.
Maktab geometriyasidan biz faqat eng sodda jismlar bo‘lmish prizma, piramida, konus, silindr va shar hajmlarini hisoblash formulalarini bilamiz. Aniq integral yordamida bir qator murakkabroq jismlarning hajmini hisoblash imkoniyatiga ega bo‘lamiz.

• 
  Jism hajmini uning ko‘ndalang kеsimi yuzasi bo‘yicha hisoblash. Bizga biror J jism berilgan bo‘lib, uni OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar bilan kesganimizda hosil bo‘ladigan kеsimlarning yuzasi ma’lum va bu yuza biror uzluksiz S(x), x[a,b], funksiya orqali ifodalansin. Bu holda J jismning V hajmini topish masalasini qaraymiz. Buning uchun [а,b] kesmani
  

а=х₀ <х₁<х₂< ∙∙∙<х_i-1<х_i< ∙∙∙<x_n=b
nuqtalar bilan ixtiyoriy n bo‘lakka ajratamiz va bu nuqtalar orqali OX o‘qiga pеrpеndikular tekisliklar o‘tkazamiz. Bu tеkisliklar jismni J_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarga ajratadi. Bu qatlamlarning hajmlarini V_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) deb belgilasak, unda izlangan V hajmni V=V₁+V₂+∙∙∙+V_n yig‘indi ko‘rinishida yozish mumkin. Yuqorida ko‘rsatilgan x_i bo‘linish nuqtalari orqali hosil qilingan har bir [x_i–1, x_i] kesmachalardan (i=1, 2, ∙∙∙, n) ixtiyoriy bir ξ_i nuqtalarni tanlab olamiz. Endi J_i (i=1, 2, ∙∙∙, n) qatlamlarning har birini balandligi x_i =x_i–x_i–1, asosining yuzasi esa S(_i) bo‘lgan silindrik jismlar bilan almashtiramiz. Bu holda V_i S(_i)x_i taqribiy tenglik o‘rinli ekanligini nazarga olsak, yuqoridagi yig‘indidan

taqribiy natijaga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy tenglikda bo‘laklar soni n qanchalik katta va qanchalik kichik bo‘lsa, V_n yig‘indi izlanayotgan V hajm qiymatiga shunchalik yaqin bo‘ladi deb olish mumkin. Shu sababli J jismning hajmi V yuqoridagi V_n yig‘indilar ketma-ketligining n→∞, Δ_n→0 bo‘lgandagi limiti deb olinadi. Unda V_n yig‘indi S(x) funksiya uchun [a,b] kesma bo‘yicha integral yig‘indi ekanligini hisobga olib va aniq integral ta’rifidan foydalanib, berilgan J jismning V hajmini uning ko‘ndalang kesimi yuzasi S(x) bo‘yicha hisoblash uchun quyidagi formulaga ega bo‘lamiz:
. (8)
Misol sifatida asosining radiusi R, balandligi esa h bo‘lgan doiraviy konusning (79-rasmga qarang) V hajmini (8) formula yordamida topamiz.

Bunda ko‘ndalang kesimlar doiralardan iborat bo‘lib, ularning radiuslari r=Rx/h, x[0,h], funksiya bilan aniqlanadi. Demak, ko‘ndalang kesim yuzasi
S(x)=πr²=π(Rx/h)²
funksiya bilan ifodalanadi. Unda bu konus hajmi uchun, (8) tenglikka asosan,

formulaga , ya’ni bizga maktabdan tanish bo‘lgan natijaga kelamiz.

•