Aniq integralni hisoblash. Reja

2. Egri chiziq yoyining uzunligini Dekart va qutb koordinatalarida hisoblash

a) Dekart koordinatalari sistemasida egri chiziq yoyining uzunligini hisoblash. Tekslikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglama berilgan bo’lsin. Bu egri chiziqning va vertekal to’g’ri chiziqlar orasidagi yoyning uzunligini hisoblaymiz. Yoyida abssissalari bo’lgan nuqtalarni olamiz va vatarlarni o’tkazamiz. Ularning uzunliklarini mos ravishda lar bilan belgilaymiz. yoy ichiga chizilgan siniq chiziqning uzunligi bo’lgani uchun yoyning uzunligi bo’ladi. Faraz qilaylik, funksiya va uning hosilasi kesmada uzlusiz bo’lsin.

U holda yoki Lagranj teoremasiga asosan bo’lganligidan shartida bo’ladi. Ichki chizilgan siniq chiziqlarning uzunligi esa bo’ladi. Shartga ko’ra, funksiya uzluksizdir, demak, funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u quyidagi aniq inetgralga teng:

Demak, yoy uzunligini hisoblash formulasi ko’rinishga ega bo’ladi.
Agar egri chiziq parametrik shaklidagi tenglamasi bilan berilgan bo’lsa va bo’lganda bu tenglama biror funksiyani aniqlaydi, bu funksiya uzluksiz bo’lib, uzluksiz hosilaga ega, bo’lsin. (9) integralda
almashtirish bajaramiz. U holda
yoki bo’ladi.
Bu formulaga tenglamasi parametrik shaklda berilgan yoy uzunligini hisoblash formulasi deyiladi.
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligini hisoblash.
Tenglamasi qutb koordinatalar sistemasida bo’lgan egri chiziq berilgan bo’lsin. Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o’tish formulasi dan foydalansak va unga formulani tatbiq qilsak , bo’ladi. U holda bo’ladi.
Demak, formulani ko’rinishi bo’ladi. Bu formulaga qutb koordinatalarida egri chiziq yoyining hisoblash formulasi deyiladi.
5-misol. aylana uzunlgi hisoblansin.
Yechish: Dastlab, aylananing birinchi kvadrantda yotgan qismini hisoblab, uni 4ga ko’paytiramiz. U holda yoy tenglamasi , bo’lganidan .

Butun aylana uzunligi bo’ladi.